[論文レビュー] Decidability for Sturmian words

Philipp Hieronymi, Dun Ma+4 more|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|Feb 16, 2021

Natural Language Processing Techniques被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Sturmian語の1階理論がPresburger算術において決定可能であることを示している。その根拠として、1つのSturmian語を追加したPresburger算術の1階拡張が一様にω自動的であることを証明した。主な貢献は、Pecanと呼ばれるツールに実装された決定手続きであり、古典的な定理の自動検証と、特徴的Sturmian語におけるアンチスクエアとアンチパリンドロームに関する新しい結果の導出を可能にした。

ABSTRACT

We show that the first-order theory of Sturmian words over Presburger arithmetic is decidable. Using a general adder recognizing addition in Ostrowski numeration systems by Baranwal, Schaeffer and Shallit, we prove that the first-order expansions of Presburger arithmetic by a single Sturmian word are uniformly $ω$-automatic, and then deduce the decidability of the theory of the class of such structures. Using an implementation of this decision algorithm called Pecan, we automatically reprove classical theorems about Sturmian words in seconds, and are able to obtain new results about antisquares and antipalindromes in characteristic Sturmian words.

研究の動機と目的

• Sturmian語の1階理論がPresburger算術において決定可能であることを確立すること。
• 個々のSturmian語に関する既知の決定可能性結果を、そのような構造の全クラスへと拡張すること。
• ω自動性と表記系を用いて、Sturmian語の組合せ的性質の自動決定手続きを開発すること。
• 実用的な定理検証のため、Pecanと呼ばれるツールを用いて決定アルゴリズムを実装・検証すること。
• 非二次無理数を含む関連構造における決定可能性の限界を調査することにより、決定可能性の境界を明らかにすること。

提案手法

• Sturmian語を追加したPresburger算術の1階拡張のω自動性を、Ostrowski表記系と加法の有限オートマトンを用いて証明することで活用する。
• Baranwal, Schaeffer, および Shallit が構築した、Ostrowski表記系における加法を認識する一般化された加算器を用い、一様なω自動性を確立する。
• 構造のクラス $\mathcal{K}_{\text{sturmian}}$ および $\mathcal{K}_{\text{char}}$ が一様にω自動的であることを証明し、それらの1階理論の決定可能性を示す。
• Pecan と呼ばれるツールに決定アルゴリズムを実装し、Sturmian語に関する論理的文の自動検証を可能にする。
• 定義可能性とオートマトン理論的表現を含むモデル理論的技法を用いて、Sturmian語の論理的構造を分析する。
• 非二次無理数に対する関数記号 $\lambda$ を含む拡張が、決定不能性を引き起こすことを示すことにより、決定可能性の境界を調査する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのSturmian語の1階理論は、Presburger算術において決定可能か？
• RQ2 個々のSturmian語構造に関する決定可能性は、そのような構造の全クラスへと拡張可能か？
• RQ3 Pecan のような自動化ツールは、Sturmian語の組合せ的性質に関する古典的結果をどれほど再証明または新しい結果を発見できるか？
• RQ4 関数 $\lambda(x) = \lfloor \alpha x \rfloor$ のような追加関数を言語に含めると、計算上の決定可能性の境界はどこまで拡張可能か？
• RQ5 自然な非二次無理数、例えば $e$ や $\pi$ に対して、理論は依然として決定可能か？

主な発見

• 1階理論 $\mathrm{FO}(\mathcal{K}_{\text{sturmian}})$ および $\mathrm{FO}(\mathcal{K}_{\text{char}})$ は決定可能であり、これは従来の結果（二次数のような特定の無理数に限ったもの）を拡張するものである。
• 構造のクラス $\mathcal{N}_{\alpha,\rho}$ は一様に $\omega$-自動的であり、それらの1階理論の決定可能性を示唆する。
• Pecan の実装により、バランス性や部分語複雑度といった古典的定理が数秒以内に自動的に再証明される。
• Pecan は、特徴的Sturmian語におけるアンチスクエアとアンチパリンドロームの構造的性質といった新しい結果を発見する。
• $\mathrm{FO}(\mathcal{K}_{\lambda})$ は、非二次無理数 $\alpha$ に対して、普遍的チューリングマシンの定義可能性により決定不能である。
• $\mathrm{FO}(\mathcal{K}_{\lambda,q})$ が二次無理数に対して決定可能かどうかは未解決であり、$\mathrm{FO}(\mathcal{K}_q)$ への即時の還元は得られていない。