[論文レビュー] Decidability of Fully Quantum Nonlocal Games with Noisy Maximally Entangled States

Minglong Qin, Penghui Yao|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、プレイヤーがノイズのある最大もつれ状態を共有する場合の完全に量子的な非局所ゲームの決定可能性を確立し、量子値を任意に高く近似するために必要なノイズのあるEPR対の数に計算可能な上界を示している。超作用素へのフーリエ解析の拡張と不変性原理および次元削減の証明により、共有もつれにおけるノイズが計算可能性を回復させることを示しており、これはノイズなしの場合の不決定性（MIP*=RE）とは対照的である。

ABSTRACT

This paper considers the decidability of fully quantum nonlocal games with noisy maximally entangled states. Fully quantum nonlocal games are a generalization of nonlocal games, where both questions and answers are quantum and the referee performs a binary POVM measurement to decide whether they win the game after receiving the quantum answers from the players. The quantum value of a fully quantum nonlocal game is the supremum of the probability that they win the game, where the supremum is taken over all the possible entangled states shared between the players and all the valid quantum operations performed by the players. The seminal work $\mathrm{MIP}^*=\mathrm{RE}$ implies that it is undecidable to approximate the quantum value of a fully nonlocal game. This still holds even if the players are only allowed to share (arbitrarily many copies of) maximally entangled states. This paper investigates the case that the shared maximally entangled states are noisy. We prove that there is a computable upper bound on the copies of noisy maximally entangled states for the players to win a fully quantum nonlocal game with a probability arbitrarily close to the quantum value. This implies that it is decidable to approximate the quantum values of these games. Hence, the hardness of approximating the quantum value of a fully quantum nonlocal game is not robust against the noise in the shared states. This paper is built on the framework for the decidability of non-interactive simulations of joint distributions and generalizes the analogous result for nonlocal games. We extend the theory of Fourier analysis to the space of super-operators and prove several key results including an invariance principle and a dimension reduction for super-operators. These results are interesting in their own right and are believed to have further applications.

研究の動機と目的

• 共有もつれがノイズを含む場合に、完全に量子的な非局所ゲームにおける量子値近似の不決定性が継続するかどうかを調査すること。
• ノイズのある最大もつれ状態が、量子値を近似するために必要なコピー数に計算可能な上界を提供できるかどうかを特定すること。
• 非インタラクティブなシミュレーションおよびフーリエ解析の枠組みを、量子非局所ゲームの文脈における超作用素へと拡張すること。
• 共有もつれにおけるノイズが、量子値近似の複雑さを低下させ、決定可能性を回復させることを確立すること。

提案手法

• 完全に量子的な非局所ゲームにおける量子戦略を分析するための超作用素へのフーリエ解析フレームワークを構築する。
• 超作用素に対する不変性原理および次元削減定理を証明し、古典的不変性原理を量子作用素空間へ一般化する。
• チョイ-ヤミォルスキー同型を用いて量子操作を作用素として表現し、トレースノルムおよび固有値分解を適用する。
• ホルダーの不等式およびトレース不等式を用いて、射影された超作用素と元の超作用素との差を評価する。
• デコherenceをモデル化するためのノイズ作用素∆γ(P)を導入し、戦略の性能に与える影響を分析する。
• ε-ネットワークおよび作用素ノルムの境界を用いて、任意のε内での量子値近似に必要なノイズのあるEPR対の数が有限であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プレイヤーが完全なEPR対ではなくノイズのある最大もつれ状態のみを共有する場合、完全に量子的な非局所ゲームの量子値は決定可能か？
• RQ2 量子値のε近似を達成するために必要なノイズのあるEPR対の数に計算可能な上界を確立できるか？
• RQ3 共有もつれにおけるノイズは、ノイズなしの場合と比較して、量子非局所ゲーム値近似の複雑さにどのように影響するか？
• RQ4 フーリエ解析のような古典的手法が、量子情報における超作用素空間へどの程度一般化可能か？
• RQ5 超作用素に対する不変性原理および次元削減が、ノイズを含む量子操作のもとでも成立するか？

主な発見

• ノイズのある最大もつれ状態を共有する完全に量子的な非局所ゲームの量子値は決定可能であり、任意のε > 0 に対して、その値を近似するために必要なノイズのあるEPR対の数に計算可能な上界が存在する。
• 著者らは超作用素に対する不変性原理および次元削減結果を証明し、これらは決定可能性を可能にする主要な技術的ツールである。
• 共有もつれにおけるノイズが計算可能性を回復させる：MIP*=REの結果（完全なEPR対が不決定性をもたらす）とは対照的に、ノイズのある状態では問題が決定可能になる。
• 本論文では、ノイズのあるEPR対の数によって有界な有限次元の戦略空間におけるε-ネットワークを用いて、量子値を近似できることを確立している。
• ノイズのあるEPR対の数の上界は、ゲームの記述および所望の精度εにのみ依存し、基礎となる状態空間の複雑さには依存しない。
• 本研究の結果は、ノイズのあるもつれを伴う古典的非局所ゲームに関する先行研究を一般化し、非インタラクティブなシミュレーション理論を完全に量子的設定へと拡張している。