[論文レビュー] Decidability of minimization of fuzzy automata

Lvzhou Li, Daowen Qiu|arXiv (Cornell University)|May 18, 2013

Formal Methods in Verification参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、全順序ラティス上のファジィオートマトンの最小化問題の決定可能性を示す。ファジィ多項方程式系の解法に基づく新規な枠組みを導入することで、与えられたファジィオートマトンが等価なk状態オートマトンを持つかどうかを決定する手続きを提示し、問題が決定可能であり、少なくともPSPACE完全であることを確立する。

ABSTRACT

State minimization is a fundamental problem in automata theory. The problem is also of great importance in the study of fuzzy automata. However, most work in the literature considered only state reduction of fuzzy automata, whereas the state minimization problem is almost untouched for fuzzy automata. Thus in this paper we focus on the latter problem. Formally, the decision version of the minimization problem of fuzzy automata is as follows: \begin{itemize} \item Given a fuzzy automaton $\mathcal{A}$ and a natural number $k$, that is, a pair $\langle \mathcal{A}, k angle$, is there a $k$-state fuzzy automaton equivalent to $\mathcal{A}$? \end{itemize} We prove for the first time that the above problem is decidable for fuzzy automata over totally ordered lattices. To this end, we first give the concept of systems of fuzzy polynomial equations and then present a procedure to solve these systems. Afterwards, we apply the solvability of a system of fuzzy polynomial equations to the minimization problem mentioned above, obtaining the decidability. Finally, we point out that the above problem is at least as hard as PSAPCE-complete.

研究の動機と目的

• ファジィオートマトンの状態最小化が決定可能かどうかという長年の未解決問題に取り組む。
• 最小化問題の決定版を形式化する：与えられたファジィオートマトン𝒜と整数kに対して、等価なk状態ファジィオートマトンが存在するか。
• 解けるファジィ多項方程式系を用いて、k状態の等価なファジィオートマトンの存在を決定する手続きを確立する。
• 最小化問題の計算量の複雑性を分析し、少なくともPSPACE完全の難易度であることを示す。

提案手法

• 問題を、𝒜に等価なすべてのk状態オートマトンを含む集合𝕊(𝒜,k)の空でないことを判定する問題として定式化する。
• 元のオートマトンと候補のk状態オートマトンの間の同値制約を符号化するファジィ多項方程式系（25）を構築する。
• アルゴリズムIを用いて、ファジィ多項方程式系の可解性をチェックし、有効なk状態オートマトンが存在するかを決定する。
• 長さc = |V|^{n+k}−1まで、遷移関数δと出力関数ηの反復的合成により、方程式の右辺の値を計算する。
• すべての可能な状態割り当てX ∈ V^{2k+|Σ|k²}に対して左辺を評価し、方程式系の可解性をテストする。
• 定理4を適用して、方程式系に解が存在するかどうかを検証し、結果としてk状態の等価なオートマトンの存在を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全順序ラティス上のファジィオートマトンの最小化問題は決定可能か？
• RQ2 等価なk状態ファジィオートマトンの存在は、アルゴリズム的に決定可能か？
• RQ3 ファジィオートマトン最小化問題の計算量の複雑度は何か？
• RQ4 ファジィ多項方程式系は、最小化を可能にするために有効に解けるか？

主な発見

• 全順序ラティス上のファジィオートマトンの最小化問題は決定可能であり、この長年の未解決問題に対する初めての肯定的結果を提供する。
• k状態の等価なファジィオートマトンの存在を決定する手続きが、ファジィ多項方程式系の可解性に基づいて構築されている。
• アルゴリズムの実行時間はO(|V|^{2k+|Σ|k²} N k² + N n²) であり、ここでN = 1 + |Σ| + ⋯ + |Σ|^{c} かつ c = |V|^{n+k}−1 である。
• 問題は、既にPSPACE完全であることが知られているNFA最小化問題への還元により、少なくともPSPACE完全の難易度であることが示された。
• 提案手法は、ファジィオートマトンにおける識別不能性に基づく状態統合の概念を、ファジィ多項方程式に符号化された代数的制約を用いて一般化している。