[論文レビュー] Decidability of the Equivalence of Multi-Letter Quantum Finite Automata

Daowen Qiu, Xiangfu Zou+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、多文字型量子有限オートマトン（QFA）の同値性が決定可能であることを確立し、k₁およびk₂文字型QFAが、$ n^2m^{k-1} - m^{k-1} + k $ までのすべての文字列で一致するときかつそのときに限り同値であることを証明している。ここで $ m = |Σ| $、$ n = n_1 + n_2 $、$ k = \max(k_1, k_2) $ である。さらに、時間計算量 $ O(m^{2k-1}n^8 + km^k n^6) $ の多項式時間アルゴリズムを提示しており、これは自明な全列挙による指数時間チェックに比べて顕著に改善されている。

ABSTRACT

Multi-letter {\it quantum finite automata} (QFAs) were a quantum variant of classical {\it one-way multi-head finite automata} (J. Hromkovič, Acta Informatica 19 (1983) 377-384), and it has been shown that this new one-way QFAs (multi-letter QFAs) can accept with no error some regular languages $(a+b)^{*}b$ that are unacceptable by the previous one-way QFAs. In this paper, we study the decidability of the equivalence of multi-letter QFAs, and the main technical contributions are as follows: (1) We show that any two automata, a $k_{1}$-letter QFA ${\cal A}_1$ and a $k_{2}$-letter QFA ${\cal A}_2$, over the same input alphabet $Σ$ are equivalent if and only if they are $(n^2m^{k-1}-m^{k-1}+k)$-equivalent, where $m=|Σ|$ is the cardinality of $Σ$, $k=\max(k_{1},k_{2})$, and $n=n_{1}+n_{2}$, with $n_{1}$ and $n_{2}$ being the numbers of states of ${\cal A}_{1}$ and ${\cal A}_{2}$, respectively. When $k=1$, we obtain the decidability of equivalence of measure-once QFAs in the literature. It is worth mentioning that our technical method is essentially different from that for the decidability of the case of single input alphabet (i.e., $m=1$). (2) However, if we determine the equivalence of multi-letter QFAs by checking all strings of length not more than $ n^2m^{k-1}-m^{k-1}+k$, then the worst time complexity is exponential, i.e., $O(n^6m^{n^2m^{k-1}-m^{k-1}+2k-1})$. Therefore, we design a polynomial-time $O(m^{2k-1}n^{8}+km^kn^{6})$ algorithm for determining the equivalence of any two multi-letter QFAs. Here, the time complexity is concerning the number of states in the multi-letter QFAs, and $k$ is thought of as a constant.

研究の動機と目的

• 測定を1回行うQFAを一般化する、複数の直前入力記号を読めるようにしたモデルである多文字型QFAの同値性の決定可能性を解明すること。
• 同値性を確認するのに必要な文字列長の有限上限を確立し、決定可能性を保証すること。
• 全列挙による指数時間の方法に代わる、効率的な多項式時間アルゴリズムを設計すること。
• 測定を1回行うQFAに関する既知の結果を、より一般的な多文字型QFAモデルに拡張すること。
• 将来的な多文字型QFAの状態最小化および複雑性解析の基盤を築くこと。

提案手法

• 2つの多文字型QFAが、状態空間とアルファベットサイズに依存する特定の有限文字列長まで同値であるときかつそのときに限り同値であることを証明する。
• 遷移作用素の到達可能部分空間に注目し、量子状態の進化を線形代数的枠組みで表現する。
• 各 $ w \in \Sigma^{k-1} $ に対して、$ w $ で終わる文字列の状態進化ベクトルの張る空間を表す基底 $ \mathcal{B}(w) $ を構成し、初期状態ベクトルと合わせて拡張する。
• アルゴリズム (I) を設計し、すべての到達可能な状態ベクトルを効率的に表現できる基底 $ \mathcal{B}(w) $ と $ \mathcal{B}_0 $ を計算する。
• アルゴリズム (II) を開発し、基底の和集合に属する任意のベクトルが受容射影 $ P_{\text{acc}} $ により非ゼロの受容振幅をもたらすかをチェックする。
• 基底ベクトルの数と1ベクトルあたりの演算数を上限で抑え、時間計算量を解析することで、最終的な多項式時間計算量を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 測定を1回行うQFAを一般化し、複数の直前入力記号を読めるようにした多文字型QFAの同値性問題は決定可能か？
• RQ2 2つの多文字型QFAが同値であることを保証するために、同値性を確認する必要がある最小の文字列長は何か？
• RQ3 ある長さまでの全列挙による指数時間の方法を、多項式時間アルゴリズムに置き換えられるか？
• RQ4 同値性チェックの計算量は、状態数および入力記号数の増加に伴いどのように変化するか？
• RQ5 同じ言語を認識する場合、多文字型QFAの状態複雑度と標準的測定を1回行うQFAの状態複雑度の関係は何か？

主な発見

• 任意の2つの多文字型QFAの同値性は決定可能であり、チェックする必要がある最大文字列長に有限の上限が存在する：$ n^2m^{k-1} - m^{k-1} + k $、ここで $ m = |Σ| $、$ n = n_1 + n_2 $、$ k = \max(k_1, k_2) $ である。
• k = 1 の場合、この結果は測定を1回行うQFAの同値性の決定可能性に帰着され、先行研究と整合的であることが確認される。
• 上限までの全列挙による最悪ケースの時間計算量は指数的である：$ O(n^6 m^{n^2 m^{k-1} - m^{k-1} + 2k - 1}) $ であり、大規模な入力に対しては実用的ではない。
• 時間計算量 $ O(m^{2k-1}n^8 + k m^k n^6) $ の多項式時間アルゴリズムが設計され、$ k $ を定数とみなす場合には効率的である。
• アルゴリズムは、すべての文字列をチェックする代わりに、有限で効率的に構築可能な状態ベクトルの集合（基底 $ \mathcal{B}(w) $ と $ \mathcal{B}_0 $ を通じて）のみをチェックする。
• 単一アルファベットの場合の従来の手法とは根本的に異なる。本手法は状態進化空間における線形代数的構造に依存している。