[論文レビュー] Decidable (Ac)counting with Parikh and Muller: Adding Presburger Arithmetic to Monadic Second-Order Logic over Tree-Interpretable Structures

Luisa Herrmann, Peth, Vincent+1 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2023

Formal Methods in Verification被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、木解釈可能な構造上で、モノイダル第二階論理とブール代数およびプレスナア算術を組み合わせた決定可能論理 ωMSO⋊⋉BAPA を導入する。無限二分木上の充足可能性について、新規のパリッヒ＝ムラー木オートマトン（PMTA）モデルを用いて決定可能性を確立し、幅に制限のあるクラスへと結果を拡張し、完全に拡張されたμ計算にグローバルなプレスナア制約を含むような表現力豊かな拡張についても決定可能性を実現する。

ABSTRACT

We propose $ω$MSO$\Join$BAPA, an expressive logic for describing countable structures, which subsumes and transcends both Counting Monadic Second-Order Logic (CMSO) and Boolean Algebra with Presburger Arithmetic (BAPA). We show that satisfiability of $ω$MSO$\Join$BAPA is decidable over the class of labeled infinite binary trees, whereas it becomes undecidable even for a rather mild relaxations. The decidability result is established by an elaborate multi-step transformation into a particular normal form, followed by the deployment of Parikh-Muller Tree Automata, a novel kind of automaton for infinite labeled binary trees, integrating and generalizing both Muller and Parikh automata while still exhibiting a decidable (in fact PSpace-complete) emptiness problem. By means of MSO-interpretations, we lift the decidability result to all tree-interpretable classes of structures, including the classes of finite/countable structures of bounded treewidth/cliquewidth/partitionwidth. We generalize the result further by showing that decidability is even preserved when coupling width-restricted $ω$MSO$\Join$BAPA with width-unrestricted two-variable logic with advanced counting. A final showcase demonstrates how our results can be leveraged to harvest decidability results for expressive $μ$-calculi extended by global Presburger constraints.

研究の動機と目的

• 無限木構造上で、数え上げと算術的機能を併せ持つ拡張を施した決定可能論理の開発。
• パスや部分木における基数制約（例：パリッヒ的条件）を扱える、無限木におけるオートマトンベースの形式的記述の欠如に応えること。
• MSO解釈を用いて、無限二分木における決定可能性を、木幅、クライク幅、またはパーティション幅が制限されたクラスへと拡張すること。
• グローバルなプレスナア制約を含むような表現力豊かな検証論理、例えば完全に拡張されたμ計算についての決定可能性を実現すること。

提案手法

• BAPAの集合演算とプレスナア算術を組み合わせた、CMSOを拡張した論理 ωMSO⋊⋉BAPA を提案。複雑な基数制約および構造的制約を表現可能にする。
• パリッヒ的条件（無限木上のパスや部分木における基数制約）をテストできる、ムラーおよびパリッヒオートマトンを一般化した新規なオートマトンモデルであるパリッヒ＝ムラー木オートマトン（PMTA）を導入。
• ωMSO⋊⋉BAPA式を制限付きの木正規形（TNF）に変換する多段階変換を設計。これにより、オートマトンに基づく特徴付けが可能になる。
• TNF式とPMTAが認識する木言語との間の正確な対応関係を確立。PMTAの空集合問題がPSpace完全であることを証明。
• MSO解釈を用いて、無限二分木における決定可能性結果を、すべての木解釈可能なクラス（特に木幅、クライク幅、またはパーティション幅が制限されたもの）に拡張。幅制限下でも決定性が保たれる。
• 完全に拡張されたμ計算にグローバルなプレスナア制約を含む充足可能性問題を、ωMSO⋊⋉BAPA への還元により、フレームワークの有効性を示し、決定性を証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MSO, BAPA, およびプレスナア算術を組み合わせた論理を設計可能か。その充足可能性は無限木上で決定可能か。
• RQ2 無限木上でパリッヒ的基数制約によって定義される言語を認識できる、新たな木オートマトンクラスが存在するか。
• RQ3 無限二分木における決定可能性を、MSO解釈を用いて、木幅やクライク幅が制限されたようなより広範な構造クラスへと拡張可能か。
• RQ4 幅制限付きの ωMSO⋊⋉BAPA と、幅制限なしの二変数論理に数え上げを組み合わせたものとの組み合わせにおいて、決定性が保たれるか。
• RQ5 このフレームワークを用いて、グローバルなプレスナア制約を含むような表現力豊かなモダリティ論理（例：完全に拡張されたμ計算）の決定性結果を導出可能か。

主な発見

• ωMSO⋊⋉BAPA の充足可能性は、ラベル付き無限二分木のクラス上で決定可能である。
• パリッヒ＝ムラー木オートマトン（PMTA）の空集合問題は決定可能であり、PSpace完全である。
• ωMSO⋊⋉BAPA の決定性は、すべての木解釈可能なクラス（木幅、クライク幅、またはパーティション幅が制限された有限または可算構造を含む）で保たれる。
• この論理は、幅制限なしの二変数論理に数え上げを組み合わせても、決定性を保つことができる。
• グローバルなプレスナア制約を含む完全に拡張されたμ計算の「なだらかな」充足可能性問題は決定可能であり、これは、木幅が制限された構造上での ωMSO⋊⋉BAPA における充足可能性問題への還元によって示される。