[論文レビュー] Decidable Characterization of FO2(<, +1) and locality of DA.

Thomas Place, Luc Segoufin|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2016

semigroups and automata theory参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、第一階論理に2変数、順序（&lt;）、後続関数（+1）を追加した論理FO2(&lt;, +1)が、文法的特徴付けを用いて決定可能である、新しい自己完結的証明を提示する。すなわち、言語がFO2(&lt;, +1)で定義可能であるための必要十分条件は、その文法的半群が恒等式 (esete)ωt(esete)ω = (esete)ω を満たすことである。この特徴付けは、直接的にDAの局所性を示し、ThérénとWilkeが用いた群の半直積に基づく複雑な議論に代わる、より単純で組合せ論的根拠を持つ代替証明を提供する。

ABSTRACT

Several years ago Th\'erien and Wilke exhibited a decidable characterization of the languages of words that are definable in FO2(<,+1). Their proof relies on three separate ingredients. The first one is the characterization of the languages that are definable in FO2(<) as those whose syntactic semigroup belongs to the variety DA. Then, this result is combined with a wreath product argument showing that being definable in FO2(<,+1) corresponds to having a syntactic semigroup in DA*D. Finally, proving that membership of a semigroup in DA*D is decidable requires a third ingredient: the "locality" of DA, a result proved by Almeida. In this note we present a new self-contained and simple proof that definability in FO2(<,+1) is decidable. We obtain the locality of DA as a corollary.

研究の動機と目的

• FO2(&lt;, +1)における定義可能性の決定可能性を、複雑な代数的道具に依存せずに、自己完結的かつ初等的な証明で示すこと。
• 言語がFO2(&lt;, +1)で定義可能であることと、その文法的半群が恒等式 (esete)ωt(esete)ω = (esete)ω を満たすこととの必要十分条件を確立すること。
• DAの種類の局所性を直接的に導出することで、この論理断片における決定性結果のより単純な基盤を提供すること。
• ThérénとWilkeが用いた元々の群の半直積に基づく議論を、Ehrenfeucht-Fraïsséゲームと半群の恒等式に依拠する直接的で組合せ論的な証明に置き換えること。

提案手法

• 2つのペブルを用いたEhrenfeucht-Fraïsséゲームを用いて、語間のk同値性を特徴付け、論理的区別不能性を文法的構造に関連付ける。
• idempotent要素eと、語U, V, Eを用いて、FO2(&lt;, +1)における論理的区別不能性をテストする特定の語wkとw′kの構成。
• ゲームにおける残りの手数に関する帰納法を用い、ペブルの位置が構造的ブロック（例：E, U, Vのコピー）に対して不変を保つようにする。これにより、Duplicatorの勝利戦略を保証する。
• idempotentで生成される部分半群の振る舞いを分析することで、FO2(&lt;, +1)における定義可能性を、修正されたアルファベット上でのFO2(&lt;)における定義可能性に還元する。
• キーとなる恒等式 (esete)ωt(esete)ω = (esete)ω が、FO2(&lt;, +1)における定義可能性の必要十分条件として、文法的半群の分析を通じて導出される。
• 言語の性質を半群の恒等式に翻訳するために、文法的準同型 α: A∗→M を用い、有効な決定性チェックを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群の半直積構成に依存せずに、FO2(&lt;, +1)の決定的特徴付けを達成できるか？
• RQ2 DAの局所性は、文法的半群におけるより単純で組合せ論的根拠を持つ恒等式の直接的帰結か？
• RQ3 正則言語のFO2(&lt;, +1)における定義可能性を、その文法的半群における有限個の恒等式のみで特徴付けられるか？
• RQ4 恒等式 (esete)ωt(esete)ω = (esete)ω は、FO2(&lt;, +1)の表現力の全貌を完全に捉えているか？

主な発見

• 言語がFO2(&lt;, +1)で定義可能であることと、その文法的半群が恒等式 (esete)ωt(esete)ω = (esete)ω を満たすこととの必要十分条件である。
• 証明により、FO2(&lt;, +1)は種類LDAと等価であることが示され、LDAは、任意のidempotent e ∈ S に対して、部分半群 eSe がDAに属するような半群Sからなる。
• DAの局所性は、直接的な系として導出される。DA ∗ D = LDA が成り立つのは、恒等式 (esete)ωt(esete)ω = (esete)ω が種類を特徴付けるときであり、そのときのみである。
• FO2(&lt;, +1)の決定性は、今やEhrenfeucht-Fraïsséゲームと半群の恒等式に基づく単純で初等的な証明により確立されており、複雑な群の半直積の議論に取って代わられる。
• 文法的半群の恒等式は、FO2(&lt;, +1)に対応する種類への属するための有限かつ有効な基準を提供し、アルゴリズム的決定手続きを可能にする。