[論文レビュー] Deciding football sequences

Antal Iványi, J. E. Schoenfield|arXiv (Cornell University)|Jul 26, 2012

Sports Analytics and Performance参考文献 58被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特定の結果（例：0:3、1:1、3:0）のみを許容するフットボールトーナメントの最終得点を表すことができるかどうかを決定する多項式時間近似および正確な指数時間アルゴリズムを提示する。主な貢献は、不完全なトーナメントにおける一般化されたランドーおよびムーン型定理に基づく、フィルタリングおよび再構成技術を用いた有効なフットボール得点シーケンスの特徴付けである。

ABSTRACT

An open problem posed by the first author is the complexity to decide whether a sequence of nonnegative integer numbers can be the final score of a football tournament. In this paper we propose polynomial time approximate and exponential time exact algorithms which solve the problem.

研究の動機と目的

• 与えられた整数シーケンスが、制限された結果タイプを持つフットボールトーナメントの最終得点として実現可能かどうかを特定する未解決問題を解くこと。
• 有効なフットボール得点シーケンスを検証する多項式時間近似および正確な指数時間アルゴリズムを開発すること。
• 古典的な得点シーケンス定理（例：ランドーの定理やムーンの定理）を、禁止された対戦結果を有する不完全なトーナメントに拡張すること。
• 組合せ的フィルタリングおよび再構成技術を用いて、有効なフットボール得点シーケンスの構造的性質と密度を特徴付けること。
• チーム数が増加する際の、正規シーケンスと有効なフットボールシーケンスの比の漸近的挙動を分析すること。

提案手法

• 最初の $ k $ チームにおける失点数の上限を保証する点損失関数 $ P_k $ を用いたフィルタリング機構を提案し、トーナメント制約と整合性を保つ。
• 一般化されたランドー型不等式を適用：すべての $ k \in [1,n] $ に対して $ \frac{ak(k-1)}{2} \leq \sum_{i=1}^k s_i \leq \frac{bn(n-1)}{2} - P_k - (n-k)s_k $ が成り立つ必要がある。
• 動的計画法と事前計算された短縮シーケンスの行列を用いて、反復的にシーケンスが有効なトーナメントによって実現可能かどうかをチェックする再構成アルゴリズムを開発する。
• 最初の得点 $ s_1 $ に基づく再帰的フィルタリングプロセスを採用し、欠落したチームの結果が勝ち（3点）、引き分け（1点）、負け（0点）のいずれであるかを検討する。
• 行列 $ \mathcal{M} $、$ P $、$ F $ を用いた動的計画法を実装し、短縮シーケンスを用いて無効なパスを効率的に pruning する。
• 比 $ F(n)/R(n) $ の漸近的成長を分析し、$ F(n) $ が有効なフットボールシーケンスの数、$ R(n) $ が正規シーケンスの数であるとすると、その比はゆっくりと増加することが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた非負整数のシーケンスが、許容される結果（例：0:3、1:1、3:0）のみを許可するフットボールトーナメントの最終得点シーケンスとして実現可能かどうか。
• RQ2 不完全な $(a,b,n)$-トーナメントにおいて、シーケンスが有効な得点シーケンスであるための必要十分条件は何か。
• RQ3 組合せ的およびグラフ論的制約を用いて、有効なフットボール得点シーケンスを効率的にフィルタリングおよび再構成する方法は何か。
• RQ4 チーム数 $ n $ が増加する際、すべての正規シーケンスの中での有効なフットボールシーケンスの漸近的密度は何か。
• RQ5 比 $ F(n)/R(n) $ は $ n \to \infty $ のときどのように振る舞い、0に収束するか。

主な発見

• 本稿では、点損失関数 $ P_k $ を用いた一般化されたランドー型不等式を用いて、不完全な $(a,b,n)$-トーナメントにおける有効な得点シーケンスの必要十分条件を確立した。
• すべての可能な構成を再帰的に短縮し、事前計算された行列と照合することで、有効なトーナメントを検証する正確な指数時間再構成アルゴリズムを提案した。
• $ R(n) $ が正規シーケンスの数であるとき、比 $ R(n+1)/R(n) $ は $ n \to \infty $ のとき $ 256/27 \approx 9.481 $ に漸近的に収束する。
• $ F(n) $ が有効なフットボールシーケンスの数、$ R(n) $ が正規シーケンスの数であるとすると、比 $ F(n)/R(n) $ は $ n $ とともに増加し、有効なシーケンスが相対的により一般的になる傾向にあるが、収束はゆっくりである。
• $ n \geq 5 $ のとき、比 $ F(n+1)/F(n) $ は非減少であり、本稿では $ n \to \infty $ のとき 1 に収束すると仮説を立てており、これは $ F(n) $ が指数的成長を示さないことを示唆している。
• 表18の実験的データから、$ n=4 $ では $ F(n)/R(n) = 0.0559 $、$ n=12 $ では $ 0.0938 $ にまで上昇しており、収束がゆっくりであるが、0に近づく傾向にあるという仮説を支持する。