[論文レビュー] Deciding Membership in Minimal Upward Covering Sets is Hard for Parallel Access to NP

Dorothea Baumeister, Felix Brandt+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2009

Game Theory and Voting Systems参考文献 38被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、最小上向きカバー集合への属するかどうかを決定することは Θ₂^p-困難であることを確立し、計算複雑性の下界を、ブランドトとファイザーが以前に示した NP-困難性から、多項式階層の第二レベルまで引き上げた。また、関連する問題について coNP-困難性を証明し、P = NP でない限り、最小上向きカバー集合は多項式時間で計算不可能であることを示している。

ABSTRACT

A common thread in the social sciences is to identify the “most desirable” elements of a set of alternatives according to some binary dominance relation. Examples can be found in areas as diverse as voting theory, game theory, and argumentation theory. Brandt and Fischer [BF08] proved that MCu-MEMBER, the problem of deciding whether an alternative is contained in some inclusion-minimal upward covering set—a subset of alternatives that satisfies certain notions of internal and external stability—is NP-hard. We raise their NPhardness lower bound to the Θ p 2 level of the polynomial hierarchy and provide a Σp 2 upper bound. Relatedly, we show that other problems regarding minimal upward covering sets, such as deciding whether the set of all alternatives is a minimal upward covering set, are coNP-hard. As a consequence, minimal upward covering sets cannot be found in polynomial time unless P = NP.

研究の動機と目的

• ある代替案が最小上向きカバー集合に属するかどうかを決定する問題の正確な計算複雑性を特定すること。
• MCu-MEMBER 問題について、以前の NP-困難性の結果を改善し、より強い下界を確立すること。
• 代替案の全集合が最小上向きカバー集合であるかどうかを判定する問題のような関連問題の複雑性を分析すること。
• 社会選択理論および議論理論における最小上向きカバー集合の効率的計算の限界を明確にすること。

提案手法

• MCu-MEMBER が多項式階層の第二レベル、特に Θ₂^p に属する困難性を示すために、還元技術が用いられている。
• MCu-MEMBER に Θ₂^p の完全問題からの多対一還元を構築することで、下界を確立している。
• 代替案の全集合が最小上向きカバー集合であるかどうかを判定する問題が coNP-困難であることを証明している。
• 内部的・外部的安定性条件を含む、上向きカバー集合の構造的性質に依拠した分析を行っている。
• 計算複雑性理論の標準的手法を用いて、最小上向きカバー集合に関連する意思決定問題を分類している。
• 計算複雑性理論の標準的ツールを用いて、複雑性の上界と下界を導出している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MCu-MEMBER 問題、つまりある代替案が最小上向きカバー集合に属するかどうかを決定する問題の正確な複雑性クラスは何か？
• RQ2 MCu-MEMBER の NP-困難性結果を、多項式階層のより高いレベルにまで強化できるか？
• RQ3 代替案の全集合が最小上向きカバー集合であるかどうかを判定する問題は計算的に困難か？
• RQ4 これらの複雑性の下限が、最小上向きカバー集合の効率的計算にどのような意味を持つのか？
• RQ5 どのような条件下で最小上向きカバー集合は多項式時間で計算可能になるか？

主な発見

• 最小上向きカバー集合への属するかどうかを決定する問題は Θ₂^p-困難であり、以前に知られていた NP-困難性の結果よりも明確な改善を示している。
• MCu-MEMBER 問題に対して Σ₂^p の上界が確立されており、多項式階層の第二レベルに位置づけられている。
• 代替案の全集合が最小上向きカバー集合であるかどうかを判定する問題は coNP-困難である。
• P = NP でない限り、最小上向きカバー集合は多項式時間で計算不可能である。これは、確立された困難性結果による。
• これらの結果から、標準的な複雑性仮定のもとでは、最小上向きカバー集合を効率的に計算するアルゴリズムが存在する可能性は低いと示唆される。