[論文レビュー] Decision Algorithms for Fibonacci-Automatic Words, with Applications to Pattern Avoidance

Chen Fei Du, Hamoon Mousavi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2014

semigroups and automata theory参考文献 31被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、論理的述語とオートマトンを用いて無限フィボナッチ語の性質を機械的に検証できる意思決定アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムにより、平方、回文、立方に関する既知の結果を再証明し、新たに、$xxx^R$ のパターンを避ける非周期的無限二進語が存在することを、完全にアルゴリズム的に証明する。実装されたシステムを用いて、その結果が機械的に得られた。

ABSTRACT

We implement a decision procedure for answering questions about a class of infinite words that might be called (for lack of a better name) "Fibonacci-automatic". This class includes, for example, the famous Fibonacci word f = 01001010..., the fixed point of the morphism 0 -> 01 and 1 -> 0. We then recover many results about the Fibonacci word from the literature (and improve some of them), such as assertions about the occurrences in f of squares, cubes, palindromes, and so forth. As an application of our method we prove a new result: there exists an aperiodic infinite binary word avoiding the pattern x x x^R. This is the first avoidability result concerning a nonuniform morphism proven purely mechanically.

研究の動機と目的

• フィボナッチ数値システムに拡張された$k$-自動列の枠組みを用いて、フィボナッチ自動語の論理的性質を意思決定する手続きを開発すること。
• フィボナッチ語における平方、立方、回文の出現など、既知の結果を機械的に検証または再証明すること。
• 完全に自動化されたアルゴリズム的手法を用いて、特に回避可能性に関する新しい組合せ論的結果を証明すること。
• 論理的クエリをフィボナッチ表現上で処理し、対応するオートマトンを生成できるソフトウェアシステムの実装と検証を行うこと。

提案手法

• 論理的理論$({\mathbb{N}}, +, <, F)$を用い、$F$ をフィボナッチ語の述語とする。これにより、性質を一階論理述語として表現する。
• 性質は、量化子、比較演算子、およびフィボナッチ語へのインデックスアクセスを含む論理式として符号化される。
• これらの論理式は、フィボナッチ表現における整数のタプルを受け入れる有限オートマトンに変換される。
• オートマトンの構築は、正則言語の閉包性および、フィボナッチ語の述語を含むプレスバッカー算術の決定可能性に依存する。
• 実装には、Javaベースのシステムを用い、オートマトンの最小化（dk.brics.automatonを介して）、GraphVizによる可視化、およびMapleによる多項式計算を統合している。
• システムは論理に似た言語でユーザークエリをサポートし、各ステップで決定化と最小化を実行し、既知の結果との照合による正しさの保証を実施している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 論理とオートマトンを用いて、フィボナッチ語の論理的性質を機械的に決定することは可能か？
• RQ2 非周期的無限二進語で、パターン$xxx^R$ を避けるものが存在するか？
• RQ3 フィボナッチ語の接頭語のパリック・ベクトルは、モーフィズム像がフィボナッチ自動語のまま保たれるように同期可能か？
• RQ4 この手法により、フィボナッチ語における平方、立方、回文に関する既知の結果を再証明または改善できるか？
• RQ5 この枠組みは、基数$k$やフィボナッチ数値システムを超えた他の数値システムへ拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、機械的計算のみを用いて、立方の非存在や平方の構造といった、フィボナッチ語に関する既知の結果を成功裏に再証明した。
• 任意の空でないモーフィズム$h$に対して、フィボナッチ語のモーフィック像$h(\mathbf{f})$がフィボナッチ自動語であることを証明し、閉包性の拡張を示した。
• 本稿では、新たな回避可能性結果を確立した：$xxx^R$ のパターンを避ける非周期的無限二進語が存在し、その証明は意思決定手続きを完全に機械的に得た。
• 実装は、文献に記載された既知の事実を含め、数百件のテストケースを正しく検証した。さらに、先行研究における微小な誤りを検出することにも成功した。
• システムは、与えられた順序のアベリアン立方の存在といった、複雑な述語に対してもオートマトンを生成でき、検証のための明示的なオートマトンを提供した。
• この手法は一般化可能である：加法と順序が有限オートマトンによって計算可能な任意の数値システムに対して有効であり、ピゾット系を含む。