[論文レビュー] Decision problems and profinite completions of groups

Martin R. Bridson|ArXiv.org|Oct 2, 2008

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限生成で再帰的有限群である群の族を構成することで、プロフィニート群論における根本的なアルゴリズム的決定不能性を確立している。これらの群のプロフィニート完備化は同型であるが、共役性、同型性、完全性といった群論的性質は、アルゴリズム的に決定不能である。同型性の判定が、プロフィニート完備化が同一であっても、いかなるアルゴリズムでも不可能であることを証明し、決定不能な問題を符号化した明示的な族を構成している。

ABSTRACT

We consider pairs of finitely presented, residually finite groups $P\hookrightarrow\G$ for which the induced map of profinite completions $\hat P o \hat\G$ is an isomorphism. We prove that there is no algorithm that, given an arbitrary such pair, can determine whether or not $P$ is isomorphic to $\G$. We construct pairs for which the conjugacy problem in $\G$ can be solved in quadratic time but the conjugacy problem in $P$ is unsolvable. Let $\mathcal J$ be the class of super-perfect groups that have a compact classifying space and no proper subgroups of finite index. We prove that there does not exist an algorithm that, given a finite presentation of a group $\G$ and a guarantee that $\G\in\mathcal J$, can determine whether or not $\G\cong\{1\}$. We construct a finitely presented acyclic group $\H$ and an integer $k$ such that there is no algorithm that can determine which $k$-generator subgroups of $\H$ are perfect.

研究の動機と目的

• 同型なプロフィニート完備化を持つ群における意思決定問題のアルゴリズム的複雑性を調査すること。
• 固定された群の部分群同士の同型性が、そのプロフィニート完備化が同型である場合に、アルゴリズム的に決定可能かどうかを特定すること。
• コンpakトな分類空間を備えた完全群、再帰的有限群における決定可能性の限界を探索すること。
• プロフィニート完備化が同型であるにもかかわらず、一方の群では共役問題が解けるが他方では解けないような明示的な例を構成すること。
• 有限生成でアセイクリックな群のk生成子部分群における完全性の決定不能性の存在を示すこと。

提案手法

• 同型なプロフィニート完備化だが非同型な抽象的構造を持つ群の構成法（Bridson-Grunewald）を活用する。
• Higman型群の再帰的族の提示を用いて、ワード問題の決定不能性をファイバー積に符号化する。
• ティーツェ変換を適用して、特定のプロフィニート的およびホモロジー的性質を持つ部分群を分離する。
• 完全群の普遍的中心拡大構成を用いて、ホモロジーを制御した新しい有限生成群を生成する。
• 有限生成アセイクリック群内に、停止問題を符号化するk生成子部分群の再帰的列を構成する。
• プロフィニート位相と有限商の解析を用いて、プロフィニート完備化の同型性が抽象的同型性を検出できないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限生成で再帰的有限な2つの群が、プロフィニート完備化が同型である場合に、それらが抽象的に同型かどうかをアルゴリズムが決定可能か。
• RQ2 固定された有限生成で再帰的有限な群Γと固定されたkに対し、Γがアセイクリックであると仮定したとき、与えられたk生成子部分群が完全かどうかは決定可能か。
• RQ3 プロフィニート完備化が同型である場合に、一方の群では共役問題が解けるが他方では解けないことは可能か。
• RQ4 クラス𝒥（完全群、コンパクトな分類空間、有限指数部分群なし）に属する有限生成群が自明かどうかを判定するアルゴリズムは存在するか。
• RQ5 その完備化のプロフィニート同型型が決定不能となるような部分群の再帰的列を構成可能か。

主な発見

• 有限生成で再帰的有限な群P ⊂ Γが存在し、プロフィニート完備化写像ĥP → ĥΓが同型であるが、Pにおける共役問題は決定不能であり、一方Γでは2次時間で解ける。
• 有限生成部分群P ⊂ Γが抽象的にΓと同型かどうかを判定するアルゴリズムは存在しない。これはĥP → ĥΓが同型であっても同様である。
• 固定された有限生成で再帰的有限な群Γと固定されたkに対し、k生成子部分群の再帰的列Kn ⊂ Γが存在し、どのnについてもĥKn → ĥΓが同型であるかを決定するアルゴリズムは存在しない。
• 有限生成アセイクリック群Hと整数kが存在し、Hのk生成子部分群のうち、完全であるものを決定するアルゴリズムは存在しない。
• クラス𝒥（完全群、コンパクトな分類空間、自明でない有限指数部分群なし）に属する有限生成群が自明かどうかを判定するアルゴリズムは存在しない。
• ĥP → ĥΓが同型であっても、PとΓが同型であるとは限らない。これはPとΓがともに有限生成で再帰的有限であっても同様である。