[論文レビュー] Decision Problems for Additive Regular Functions

Rajeev Alur, Mukund Raghothaman|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2013

semigroups and automata theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、加法的コストレジスタオートマトン（ACRA）の2つの根本的決定問題を解決する。まず、新たなレジスタ分離性という概念を導入し、それを用いてレジスタ複雑度を特徴づけ、それが計算可能であることを示した。さらに、その計算がPSPACE完全であることを証明した。次に、コストが非負整数の場合、交差ACRAゲームにおける到達可能性問題がEXPTIME完全であることを示し、整数コストの場合は到達可能性問題が undecidable であることを示した。これにより、両問題のタイトな複雑度境界を確立した。

ABSTRACT

Additive Cost Register Automata (ACRA) map strings to integers using a finite set of registers that are updated using assignments of the form "x := y + c" at every step. The corresponding class of additive regular functions has multiple equivalent characterizations, appealing closure properties, and a decidable equivalence problem. In this paper, we solve two decision problems for this model. First, we define the register complexity of an additive regular function to be the minimum number of registers that an ACRA needs to compute it. We characterize the register complexity by a necessary and sufficient condition regarding the largest subset of registers whose values can be made far apart from one another. We then use this condition to design a PSPACE algorithm to compute the register complexity of a given ACRA, and establish a matching lower bound. Our results also lead to a machine-independent characterization of the register complexity of additive regular functions. Second, we consider two-player games over ACRAs, where the objective of one of the players is to reach a target set while minimizing the cost. We show the corresponding decision problem to be EXPTIME-complete when costs are non-negative integers, but undecidable when costs are integers.

研究の動機と目的

• 与えられた加法的正則関数を実装するために必要な最小レジスタ数を特定すること。これは、DFAにおける状態最小化に類似する。
• 新たな構造的性質である「レジスタ分離性」と呼ばれるものを使って、機械に依存しない方法でACRAのレジスタ複雑度を特徴づけること。
• コストを最小化しつつターゲットに到達する制約のもとで、ACRA上の2人ゲームにおける到達可能性問題の複雑度を分析すること。
• 非負整数コストと整数コストの異なるコストモデルにおいて、交差ACRAゲームにおける到達可能性問題のタイトな複雑度境界を確立すること。

提案手法

• k-分離性というレジスタの概念を導入し、文字列入力を通じてk個のレジスタ内の値を任意に離せることを意味する。
• ACRAが関数を計算するために少なくともk個のレジスタを必要とするための必要十分条件として、そのレジスタがk-分離可能であることであることを証明した。
• 文字列の接頭辞と接尾辞における値の差を分析することで、k-分離性を決定するPSPACEアルゴリズムを開発した。
• 有界ドメイン上の量化子なし整数線形計画問題にレジスタ複雑度問題を還元した。
• 交差ACRAゲームを、コスト最小化を目的とした2人ゲームとしてモデル化し、プレイヤーの選択がレジスタ更新に影響することを明示した。
• 2カウンタマシンの停止問題をACRAゲームの到達可能性問題に還元することで、整数コスト下での不決定性を証明した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた加法的正則関数を計算するために、任意のACRAが必要とする最小レジスタ数は何か？
• RQ2 関数の構造的性質を用いて、機械に依存しない方法でレジスタ複雑度を特徴づけられるか？
• RQ3 与えられたACRAのレジスタ複雑度を決定する計算の複雑度は何か？
• RQ4 コストが整数の場合、交差ACRAゲームにおける到達可能性問題は決定可能か？
• RQ5 コストが非負整数に制限された場合、到達可能性問題の複雑度はどのように変化するか？

主な発見

• ACRAのレジスタ複雑度はk-分離性によって特徴づけられる：関数が少なくともk個のレジスタを必要とするための必要十分条件は、そのレジスタがk-分離可能であることである。
• 与えられたACRAのレジスタ複雑度を計算することはPSPACE完全であり、量子化ブール論理式評価問題への還元により、下界が明確に示された。
• 文字列、サイクル、係数ベクトルを含むポンプスタイルの補題を用いて、機械に依存しないレジスタ複雑度の特徴づけが提供された。
• コストが非負整数の場合、交差ACRAゲームにおける到達可能性問題はEXPTIME完全である。
• コストが整数の場合、到達可能性問題は不決定的であることが証明された。これは2カウンタマシンの停止問題への還元によって示された。
• 不決定性の結果は、予算0戦略に対しても成立し、一般の整数コストケースでは、勝利経路を有限の戦略木で符号化することは不可能であることが示された。