[論文レビュー] Decodable quantum LDPC codes beyond the √n distance barrier using high dimensional expanders.

Shai Evra, Tali Kaufman+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2020

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ひとこと要約

この論文は、高次元拡張子（特にラマヌジャン複体）を用いて、最小距離が√nを超える量子LDPC符号を構築する。具体的には、古典的拡張子符号とテンソル化技術を組み合わせ、3次元複体を用いることで最小距離n^{1/2}log nを達成し、√nの距離障壁を超える量子LDPC符号に対する最初の多項式時間デコーディングアルゴリズムを提案する。

ABSTRACT

Constructing quantum LDPC codes with a minimum distance that grows faster than a square root of the length has been a major challenge of the field. With this challenge in mind, we investigate constructions that come from high-dimensional expanders, in particular Ramanujan complexes. These naturally give rise to very unbalanced quantum error correcting codes that have a large $X$-distance but a much smaller $Z$-distance. However, together with a classical expander LDPC code and a tensoring method that generalises a construction of Hastings and also the Tillich-Zemor construction of quantum codes, we obtain quantum LDPC codes whose minimum distance exceeds the square root of the code length and whose dimension comes close to a square root of the code length. When the ingredient is a 3-dimensional Ramanujan complex, we show that its 2-systole behaves like a square of the log of the complex size, which results in an overall quantum code of minimum distance $n^{1/2}\log n$, and sets a new record for quantum LDPC codes. When we use a 2-dimensional Ramanujan complex, or the 2-skeleton of a 3-dimensional Ramanujan complex, we obtain a quantum LDPC code of minimum distance $n^{1/2}\log^{1/2}n$. We then exploit the expansion properties of the complex to devise the first polynomial time algorithm that decodes above the square root barrier for quantum LDPC codes.

研究の動機と目的

• 量子LDPC符号の構築における長年の√n距離障壁を克服すること。
• 最小距離が√nを上回る速度で増加する量子LDPC符号を構築する方法を開発すること。
• √nのしきい値を超えるエラーを訂正可能な多項式時間デコーディングアルゴリズムを設計すること。
• 特にラマヌジャン複体を含む高次元拡張子を活用して、より優れた符号パラメータを達成すること。
• 3次元ラマヌジャン複体の2-サイクル（2-systole）が(log n)^2のスケーリングを示すことを示し、優れた符号距離を実現すること。

提案手法

• 3次元および2次元のラマヌジャン複体を幾何的構造として用い、X距離が非常に大きな非対称な量子符号を生成する。
• ハスティングスおよびティリッチ＝ツェモルのアイデアを模倣したテンソル化構成により、複体から得られる量子符号と古典的拡張子LDPC符号を組み合わせる。
• 一般化されたテンソル化法を適用してX距離とZ距離をバランスさせ、最小距離が向上した符号を実現する。
• ラマヌジャン複体のスペクトル的および拡張特性を活用して、強力な誤り訂正性能を保証する。
• 複体の高いガーブ（girth）と拡張性を活用して、√n距離制限を超える符号に対して多項式時間デコーディングアルゴリズムを設計する。
• 複体の2-サイクル（2-systole）を解析し、符号距離に関する定量的バウンディングを導出し、それが(log n)^2のスケーリングに比例することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元拡張子を用いて、最小距離が√nを超える量子LDPC符号を構築できるか？
• RQ2 ラマヌジャン複体の拡張性および幾何的性質は、得られる量子符号の距離と次元にどのように影響するか？
• RQ3 √nの距離障壁を超える量子LDPC符号に対して、多項式時間デコーディングアルゴリズムを設計できるか？
• RQ4 2-サイクル（2-systole）は、ラマヌジャン複体から導かれる量子符号の最小距離を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 3次元と2次元のラマヌジャン複体を用いた場合、符号長に対して量子符号の次元はどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 3次元ラマヌジャン複体を用いることで、最小距離n^{1/2}log nの量子LDPC符号が構築され、これは新たな記録を樹立する。
• 2次元ラマヌジャン複体、または3次元複体の2スケルトン（2-skeleton）を用いる場合、最小距離はn^{1/2}log^{1/2}nに達する。
• 3次元ラマヌジャン複体の2-サイクル（2-systole）は(log n)^2のスケーリングを示し、これが符号距離の向上に直接寄与する。
• 提案されたテンソル化法により、X距離とZ距離がうまくバランスされ、両方の距離が高く、非自明な次元を持つ符号が実現された。
• 本論文は、√nの距離障壁を超える量子LDPC符号に対して、初めての多項式時間デコーディングアルゴリズムを提示する。
• 得られた量子符号の次元は√nに近づくため、レートと距離のトレードオフにおいてほぼ最適である。