[論文レビュー] Decodable quantum LDPC codes beyond the $\sqrt{n}$ distance barrier using high dimensional expanders

Shai Evra, Tali Kaufman+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、3次元ラマヌジャン複体とハスティングスおよびティリッチ＝ツェモルにインspiredされたテンソル化法を活用することで、最小距離が $√n$ の壁を超える最初の量子LDPCコード族を構築した。これにより、$n^{1/2}\log n$ の距離を達成した。この構成は、高次元拡張子と古典的LDPCコードを組み合わせており、多項式時間で動作するデコーディングアルゴリズムを可能にし、従来の距離限界を超えるエラーを是正できる。

ABSTRACT

Constructing quantum LDPC codes with a minimum distance that grows faster than a square root of the length has been a major challenge of the field. With this challenge in mind, we investigate constructions that come from high-dimensional expanders, in particular Ramanujan complexes. These naturally give rise to very unbalanced quantum error correcting codes that have a large $X$-distance but a much smaller $Z$-distance. However, together with a classical expander LDPC code and a tensoring method that generalises a construction of Hastings and also the Tillich-Zemor construction of quantum codes, we obtain quantum LDPC codes whose minimum distance exceeds the square root of the code length and whose dimension comes close to a square root of the code length. When the ingredient is a 3-dimensional Ramanujan complex, we show that its 2-systole behaves like a square of the log of the complex size, which results in an overall quantum code of minimum distance $n^{1/2}\log n$, and sets a new record for quantum LDPC codes. When we use a 2-dimensional Ramanujan complex, or the 2-skeleton of a 3-dimensional Ramanujan complex, we obtain a quantum LDPC code of minimum distance $n^{1/2}\log^{1/2}n$. We then exploit the expansion properties of the complex to devise the first polynomial time algorithm that decodes above the square root barrier for quantum LDPC codes.

研究の動機と目的

• 量子LDPCコードにおける長年の $√n$ 距離の壁を打ち破ること。
• 最小距離が $\sqrt{n}$ を著しく上回る量子LDPCコードを構築し、同時に定数重みのパリティーチェック行列を維持すること。
• 量子LDPCコードの多項式時間デコーディングアルゴリズムを構築し、$√n$ 距離の閾値を超えて動作させること。
• ラマヌジャン複体の拡張性質を活用して、高距離・高レートの量子コードを実現すること。

提案手法

• 3次元ラマヌジャン複体を幾何的基盤として用い、その高次元的拡張性と有界次数構造を活用する。
• ラマヌジャン複体の2次スケルトンから量子コードを構築し、頂点-辺および三角形-辺のインシデント行列をそれぞれ $H_X$ と $H_Z$ として用いる。
• ハスティングスおよびティリッチ＝ツェモルにインspiredされたテンソル化法を適用し、$Z$-距離を拡大しながらLDPC構造を保持する。
• 複体の $2$-サイクルをキーモノイド的不変量として用い、3次元複体では $\log^2 n$ のように振る舞う。
• 拡張性質を活用した、局所的最小性とコバウンダリーレダクションに基づく簡素化されたデコーディングアルゴリズムを導入する。
• カルトワース＝スティーガー群と合同部分群を用いて、所望の対称性と拡張性を持つ明示的ラマヌジャン複体を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子LDPCコードを、最小距離が $\sqrt{n}$ を超えるように構築可能か？ これは長年の壁を打ち破るものである。
• RQ2 ラマヌジャン複体のような高次元拡張子を用いて、高距離かつ高レートの量子コードを構築可能か？
• RQ3 $√n$ 距離閾値を超えて動作する量子LDPCコードの多項式時間デコーディングアルゴリズムは存在するか？
• RQ4 ラマヌジャン複体の $2$-サイクルおよび高次元拡張性質が、コード距離に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、最小距離 $n^{1/2}\log n$ の量子LDPCコードを構築し、$√n$ の壁を超える記録を樹立した。
• コード次元は $\sqrt{n}$ に近く、従来では達成できなかったレートと距離のバランスを実現した。
• 3次元ラマヌジャン複体では、$2$-サイクルが $\log^2 n$ のスケーリングを示し、これが $n^{1/2}\log n$ の距離スケーリングに直接寄与する。
• 局所的最小性とコバウンダリーレダクションに基づく多項式時間デコーディングアルゴリズムが考案され、コード長の定数倍のエラーを是正可能である。
• 基本コードでは $d_X = \log n$ および $d_Z = \Omega(n)$ を達成し、テンソル化法により有効距離を $√n$ を超えて拡大した。
• デコーディングアルゴリズムが、$c|E|$ のエラー重みまで成功することを証明した。ここで $c$ は $q$ の減少関数である。これにより、有界エラー下での頑健性が示された。