[論文レビュー] Decoherence in a quantum walk on the line

Viv Kendon, Ben Tregenna|ArXiv.org|Oct 8, 2002

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 5被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、1次元線上の離散時間量子ウォークにおけるデコherence効果を調査し、1ステップあたりのデコherenceイベント確率を用いてマスター方程式でノイズをモデル化する。解析的に、ウォークの位置の標準偏差がデコherenceイベント数（pT）に線形に減少することを導出し、量子速度向上がノイズに対して脆いことを示している。

ABSTRACT

We have studied how decoherence affects a quantum walk on the line. As expected, it is highly sensitive, consisting as it does of an extremely delocalized particle. We obtain an expression for the rate at which the standard deviation falls from the quantum value as decoherence increases and show that it is proportional to the number of decoherence "events" occuring during the walk.

研究の動機と目的

• 1次元格子上の量子ウォークのダイナミクスと性能にデコherenceが及ぼす影響を理解すること。
• 特に局在化しない重ね合わせ状態における環境ノイズに対する量子ウォークの速度向上の感受性を定量化すること。
• 弱いデコherence下での標準偏差の減衰に関する解析的式を導出すること。
• ウォーク中に発生するデコherenceイベント数に起因する抑制の依存関係を確立すること。

提案手法

• 1ステップあたりデコherenceイベントが発生する確率pを用いて、離散的マスター方程式でデコherenceをモデル化する。
• 計算基底 {|x,a⟩} への射影を適用することで、コインおよび位置の自由度の両方におけるデコherenceを模擬する。
• pにおける1次摂動論法を用いて、理想量子ウォークの周囲で確率分布 P(x,a,T,p) を展開する。
• x²の期待値をpの1次まで展開することで、2次モーメント σ²(T,p) を導出する。
• 時間ステップおよび位置に関する和をとり、対称性と理想ウォークの既知のモーメントを活用する。
• 不等式を用いて結果の式を束縛し、標準偏差の減衰に関する上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デコherenceは1次元線上の量子ウォークの標準偏差にどのように影響するか？
• RQ2 標準偏差がデコherence率pおよびウォーク時間Tにどのように依存するか？
• RQ3 デコherenceによる量子ウォークの広がりの減衰は、デコherenceイベント数に関して線形か？
• RQ4 初期コイン状態は、デコherenceに起因する量子優位性の抑制にどのように影響するか？
• RQ5 弱いデコherence下での量子ウォーク広がりの減衰に対して解析的バウンドを導出可能か？

主な発見

• 量子ウォークの標準偏差 σ(T,p) は、ウォーク中に予想されるデコherenceイベント数 pT に線形に減少する。
• σ(T,p) の一次補正項は pT に比例しており、減衰速度がデコherenceイベント数に比例することを確認している。
• 減衰係数の解析的上界は 1/(6√2) ≈ 0.1178 であり、数値シミュレーションではよりきつい係数 ≈ 0.09566 が得られている。
• 初期コイン状態に依存しないことが示され、対称的ウォークにおいて初期コイン振幅の線形依存が相殺される。
• p → 1 の極限で標準偏差は古典的 √T スケーリングに近づき、強いデコherence下では量子ウォークの2次速度向上を失う。
• 理想σ(T)に1/T補正項を加えることで、有限Tにおけるシミュレーションデータと良好に一致し、精度が向上する。