[論文レビュー] Decoherence-Insensitive Quantum Communication by Optimal C^*-Encoding

Bernhard G. Bodmann, David W. Kribs+1 more|ArXiv.org|May 29, 2006

Quantum Information and Cryptography参考文献 24被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ノイズレス部分空間が十分に大きくない場合に、ノイズに敏感なコンポONENTに量子情報を最適に分散させることでデコherenceに強い量子通信を実現する $C^*$-encodingフレームワークを提案する。位相減衰チャネルを最小ランク射影の凸結合としてモデル化し、幾何的条件を導出する。最適な符号化は、すべてのペアワイズ射影 $P_i + P_j$ の最大固有値を最小化することで達成され、二重一様フレームではWelchの不等式が等号で成立する。

ABSTRACT

The central issue in this article is to transmit a quantum state in such a way that after some decoherence occurs, most of the information can be restored by a suitable decoding operation. For this purpose, we incorporate redundancy by mapping a given initial quantum state to a messenger state on a larger-dimensional Hilbert space via a $C^*$-algebra embedding. Our noise model for the transmission is a phase damping channel which admits a noiseless or decoherence-free subspace or subsystem. More precisely, the transmission channel is obtained from convex combinations of a set of lowest rank yes/no measurements that leave a component of the messenger state unchanged. The objective of our encoding is to distribute quantum information optimally across the noise-susceptible component of the transmission when the noiseless component is not large enough to contain all the quantum information to be transmitted. We derive simple geometric conditions for optimal encoding and construct examples.

研究の動機と目的

• 利用可能なノイズレス部分空間が、すべての望ましい量子状態を符号化するのに不十分な場合に、量子情報を信頼性高く伝送する課題に対処すること。
• 位相減衰ノイズ下での最悪ケース再構成誤差を最小化しつつ、システムのノイズに敏感な部分に量子情報を分散させるフレームワークを開発すること。
• $\mathcal{Q}^{(1)}$ の最小誤差モデルに属するすべてのチャネルにおけるヒルバート＝シュミット再構成誤差の上界を最小化する最適 $C^*$-符号化写像の幾何的・代数的条件を導出すること。
• 一様重み付き射影と二重一様フレームを用いて、理論的誤差下限に達する明示的な最適符号化例を構成すること。

提案手法

• ノイズを最小ランク射影測定の凸結合としてモデル化し（位相減衰チャネル）、$\mathcal{Q}^{(1)} = \left\{ \sum_{j=1}^m p_j \mathcal{E}_j(M) \right\}$ と表記する。ここで $\mathcal{E}_j(M) = Q_j M Q_j + Q_j^\perp M Q_j^\perp$ かつ $Q_j = E_{jj} \otimes I$ である。
• $C^*$-代数埋め込みを符号化写像 $\Phi: B(\mathbb{C}^d) \to B(\mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^l)$ として用い、量子状態の構造を保持するとともに、より大きなヒルベルト空間に冗長性を組み込む。
• 再構成誤差を、$A$ をノイズに敏感なコンポONENTへの射影、$W$ を$A$ の固有基底における符号化状態としたとき、$Y = (I - A)WA + AW(I - A)$ のヒルバート＝シュミットノルムとして定義する。
• すべてのペアワイズ射影 $P_i + P_j$（$i \neq j$）の最大固有値を最小化することで、最悪ケース誤差を最小化する。これは、演算子ノルム $\|P_i + P_j\|$ の最小化に相当する。
• ${\mathbb{C}^q}$ 内の $m$ 個のベクトルからなるパーセバルフレーム $\{f_j\}$ を用い、$\|f_j\| = \sqrt{q/m}$ となるようにし、$\max_{i \neq j} \|\Pi_i + \Pi_j\| = 1 + \sqrt{\frac{m - q}{q(m - 1)}}$ を満たす。これによりWelchの不等式が等号で成立する。
• ヒルベルト空間に $s$ 次元のノイズレス成分 $\mathcal{V}$ を追加することで、デコherenceに強い部分空間を含むフレームワークを一般化し、誤差境界において $ml$ を $ml + s$ に置き換える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズレス部分空間が限られている場合に、位相減衰ノイズ下での最悪ケース再構成誤差を最小化するように、量子情報をどのように最適に符号化できるか。
• RQ2 最小誤差モデル $\mathcal{Q}^{(1)}$ に属するすべてのチャネルにおいて、最小の最悪ケース誤差を達成する符号化写像の幾何的条件は何か。
• RQ3 最適符号化は明示的に構成可能であり、理論的誤差下限に達する条件は何か。
• RQ4 デコherenceに強い部分空間の導入は、誤差境界および最適符号化の構造にどのように影響するか。
• RQ5 二重一様フレームは最適符号化性能を達成するために果たす役割は何か。また、Welchの不等式の等号成立はどのような条件下で達成可能か。

主な発見

• 最適 $C^*$-符号化は、$\mathcal{Q}^{(1)}$ に属するすべてのチャネルにおけるヒルバート＝シュミット再構成誤差の上界を最小化し、これはすべてのペアワイズ射影 $P_i + P_j$（$i \neq j$）の最大固有値を最小化することで達成される。
• 最悪ケース誤差は $A$ の固有値に依存する式で下界づけられ、すべての $P_i + P_j$ のノルムが等しいときにその下界が達成される。
• $d$ 次元の入力空間を $\mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^l$ に符号化する場合、最適性能は $\mathbb{C}^q$ 上の射影 $\{\Pi_j\}$ が二重一様フレームをなすとき達成され、$|\langle f_i, f_j \rangle| = \sqrt{q(m - q)/(m^2(m - 1))}$（すべての $i \neq j$）を満たす。これにより $\max_{i \neq j} \|\Pi_i + \Pi_j\|$ が最小化される。
• 最小の最悪ケース誤差は $\|Y\|_{HS}^2 = 2 \sum_{r,s} \left( (1 - \alpha_r)\alpha_r(1 - \alpha_s)\alpha_s + (1 - \alpha_r)^2\alpha_s^2 \right) |W_{r,s}|^2$ で与えられ、固有値 $\alpha_r$ を選ぶことで $\|P_i + P_j\|$ の最大値を最小化するようにすることで誤差が最小化される。
• $s$ 次元のデコherenceに強い部分空間 $\mathcal{V}$ を含めた場合、誤差境界は不等式において $ml$ を $ml + s$ に置き換えることで修正されるが、一般の条件下で最適符号化の存在が明確でない。$s$ が $l$ を割り切る場合に限り、その存在が保証される。
• 一様重み付きランク1射影 $\Pi_j$ を用いた明示的な最適例が $\mathbb{C}^q$ 上に構成され、フレーム $\{f_j\}$ がWelchの不等式の等号を満たす。この符号化により理論的最小誤差が達成される。