[論文レビュー] Decomposability of local determinantal representations of hypersurfaces

Dmitry Kerner, Victor Vinnikov|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2010

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、特異点の局所的行列式表現が分解可能であるための必要十分条件を、特に行列式が可約である場合に確立する。最大生成かつ飽和された行列式行列（代数幾何学および可換代数でよく現れる）は、同値関係の下で強い分解可能性条件を満たし、明示的なブロック上三角形またはブロック対角標準形をとることを示す。

ABSTRACT

Let M be a matrix whose entries are power series in several variables and determinant det(M) does not vanish identically. The equation det(M)=0 defines a hypersurface singularity and the (co)-kernel of M is a maximally Cohen-Macaulay module over the local ring of this singularity. Suppose the determinant det(M) is reducible, i.e. the hypersurface is locally reducible. A natural question is whether the matrix is equivalent to a block-diagonal or at least to an upper-block-triangular. (Or whether the corresponding module is decomposable or at least is an extension.) We give various necessary and sufficient criteria. Two classes of such matrices of functions appear naturally in the study of decomposability: those with many generators (e.g. maximally generated or Ulrich maximal) and those that descend from birational modifications of the hypersurface by pushforwards (i.e. correspond to modules over bigger rings). Their properties are studied.

研究の動機と目的

• 特異点の局所的行列式表現が分解可能または拡張であるとき、特に行列式が可約である場合にその条件を特定すること。
• 特異点の双有理的変形から生じる、最大生成またはそれらに類似する行列の構造を分析すること。
• 特に平面曲線の場合に、局所同値関係の下でこのような行列の明示的標準形を提供すること。
• 代数的および幾何的不変量に基づいて、行列がブロック対角または上ブロック三角形形式に同値である条件を確立すること。
• 特異点の変形の文脈において、随伴行列の性質と相対イデアル条件とが分解可能性に与える影響を結びつけること。

提案手法

• 可逆変換による分類のための局所的同値関係 $\mathcal{M} \sim A\mathcal{M}B$ を用いる。ただし $A,B \in GL(d, \mathcal{O}_{(k^n,0)})$。
• 構造と分解可能性を分析するため、随伴行列 $\mathcal{M}^\vee$ を適用し、$\mathcal{M} \mathcal{M}^\vee = \det(\mathcal{M}) \cdot \mathbf{1}$ を満たす。
• 最大生成行列式表現の概念を導入する。ここで $\operatorname{corank}(\mathcal{M}|_0) = \operatorname{mult}(X,0)$ であり、強い基準が適用可能な特別なクラスを特定する。
• 双有理的変形 $\nu: (X',0) \to (X,0)$ 沿いの押し出しにより生じる飽和行列式表現を研究し、引き戻しモジュールの構造と分解可能性を関連付ける。
• 列および行の基本操作（例えば上三角行列による共役変換）を用いて、$x_2$ の次数と次数制約を制御した正規形に帰着する。
• 特に接線的分解の文脈において、分解可能性を特徴付けるために相対随伴イデアル条件 $\operatorname{Adj}_{(X',0)/(X,0)}$ を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可約な超曲面特異点の局所的行列式表現が、ブロック対角行列に同値であるのはいつか？
• RQ2 行列式行列が上ブロック三角形行列に同値であるのはどのような条件下か？これはモジュールの拡張に対応する。
• RQ3 最大生成または飽和された行列式表現は、分解可能性基準においてどのように振る舞うか？
• RQ4 相対随伴イデアルは、行列が双有理的変形から引き継がれ、かつ分解可能であるかどうかを決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 複数の接線を持つ平面曲線の最大生成行列式表現に対して、どのような明示的標準形が達成可能か？

主な発見

• 行列式表現が完全に分解可能であるための必要十分条件は、相対随伴イデアル $\operatorname{Adj}_{(X',0)/(X,0)}$ が $\det(\mathcal{M})$ の既約成分 $f_i$ によって生成されることである。
• 平面曲線の最大生成行列式表現に対しては、行列は対角成分が $f_i$ である上三角形形式に同値であり、非対角成分は次数制約を満たす。
• 非対角成分 $\mathcal{M}_{i,i+1}$ の $x_2$-次数が $\min(l_i, l_{i+1})$ 以上であれば、基本的な行・列操作により消去可能である。
• 残存する非ゼロの非対角成分は、適切な対角行列 $U$ による共役変換により $x^{n_i}$（$n_i < \min(l_i, l_{i+1})$）に正規化可能である。
• $\{y(y^2 - x^{2l+1}) = 0\}$ の曲線に対しては、すべての最大生成行列式表現が、$H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(m-2)) \times H^0(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(2l-m))/\sim$ でパラメータ付けられた行列に同値であり、表現のモジュライ空間が存在することを示す。
• このような表現の空間は有限次元であり、指定された次数の斉次多項式によりパラメータ付けられ、スケーリングを除いて同値類として扱われる。非ゼロ成分の次数には明示的な上限が存在する。