[論文レビュー] Decomposing a graph into expanding subgraphs

Guy Moshkovitz, A. Shapira|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2015

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 31被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、特に拡張子分解と頂点分離子に関連する、よく知られたグラフ分解結果が、定量的境界の観点から本質的に最適であることを示している。著者らは、ハイパーキューブのランダム部分グラフを構築し、それらを度解析の技術を用いて分析することで、現在の結果を上回る拡張性の保証やエッジ／頂点分離子の境界を改善することは、広範なエッジの削除や緩い制約があっても不可能であることを示している。

ABSTRACT

A paradigm that was successfully applied in the study of both pure and algorithmic problems in graph theory can be colloquially summarized as stating that any graph is close to being the disjoint union of expanders. Our goal in this paper is to show that in several of the instantiations of the above approach, the quantitative bounds that were obtained are essentially best possible. Two examples of our results are the following:• Motivated by the Unique Games Conjecture, Trevisan [FOCS '05] and Arora, Barak and Steurer [FOCS '10] showed that given a graph G, one can remove only 1% of G's edges and thus obtain a graph in which each connected component has good expansion properties. We show that in both of these decomposition results, the expansion properties they guarantee are (essentially) best possible even when one is allowed to remove 99% of G's edges. In particular, our results imply that the eigenspace enumeration approach of Arora-Barak-Steurer cannot give (even quasi-) polynomial time algorithms for unique games.• A classical result of Lipton, Rose and Tarjan from 1979 states that if F is a hereditary family of graphs and every graph in F has a vertex separator of size n/(log n)1+o(1), then every graph in F has O(n) edges. We construct a hereditary family of graphs with vertex separators of size n/(log n)1-o(1) such that not all graphs in the family have O(n) edges.The above results are obtained as corollaries of a new family of graphs, which we construct by picking random subgraphs of the hypercube, and analyze using (simple) arguments from the theory of metric embedding.

研究の動機と目的

• 既存の拡張子へのグラフ分解結果が定量的に最適であるかどうかを特定すること。
• 良い拡張性を達成するためのエッジ削除の限界を調査すること。
• 遺伝的グラフ族における頂点分離子境界のタイトさを検討すること。
• 一意ゲームに対する固有空間列挙法の改良が、現在の境界を超えて可能かどうかを評価すること。
• 小さな分離子を備えながらも、エッジ密度が非最適な遺伝的グラフ族を構築すること、古典的境界に挑戦する。

提案手法

• 極値例として用いるため、ハイパーキューブのランダム部分グラフを構築すること。
• 度解析理論の道具を用いて歪みと拡張性の性質を分析すること。
• 確率論的技法を用いて、拡張性および分離子サイズの下界を確立すること。
• 構築されたグラフの固有値的性質を分析し、その拡張性の挙動を評価すること。
• 特定のグラフでは、最大99％のエッジを削除しても、拡張性を著しく改善できないことを示すこと。
• ハイパーキューブの構造を用いて、制御された分離子サイズだが超線形なエッジ数を持つグラフ族を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エッジ削除を1％まで許容しても、拡張子分解結果における拡張性保証を著しく改善できるか？
• RQ2 一意ゲームに対する固有空間列挙アプローチが、現在の境界を超えて多項式時間アルゴリズムを達成可能か？
• RQ3 小さな分離子を備える遺伝的族におけるエッジ密度の古典的境界はタイトか？
• RQ4 遺伝的グラフ族がサブ線形分離子を備えながらも、超線形エッジ数を含むグラフを含めることが可能か？
• RQ5 エッジ削除制約下での、拡張部分グラフへのグラフ分解の定量的限界は何か？

主な発見

• 成分における良好な拡張性を達成するための1％エッジ削除結果は、99％のエッジ削除を許容しても本質的に最適である。
• Arora-Barak-Steurerの固有空間列挙法が保証する拡張性の性質は、著しく改善できないため、一意ゲームに対する（すなわち準）多項式時間アルゴリズムの可能性は排除される。
• 頂点分離子サイズが n/(log n)^{1-o(1)} であるが、ω(n)本のエッジを含むグラフを含む遺伝的グラフ族が存在し、古典的期待に反する。
• ハイパーキューブのランダム部分グラフの構築により、拡張性および分離子境界における極値的グラフが得られる。
• 度解析の議論は、拡張性および分離子性能のタイトな定量的下界を導出するシンプルで強力なフレームワークを提供する。
• 結果は、既存の分解技術が本質的にグラフ理論的制約によって制限されており、アルゴリズム的非効率性によるものではないことを示している。