[論文レビュー] Decomposing Baire class 1 functions into continuous functions

Saharon Shelah, Juris Steprāns|arXiv (Cornell University)|Jan 15, 1994

Anomaly Detection Techniques and Applications参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、Baire階層1の任意の関数を分解するのに必要な連続関数の最小数を調査し、その基数不変量 dec（そのような最小数）が、支配数 d よりも厳密に小さい可能性があることを証明している。CH のモデル上でミラー実数を用いた強制法を用いて、dec < d となるモデルを構成することで、cov(Meager) ≤ dec ≤ d の連鎖における厳密な不等号の整合性を示している。

ABSTRACT

Let dec be the least cardinal kappa such that every function of first Baire class can be decomposed into kappa continuous functions. Cichon, Morayne, Pawlikowski and Solecki proved that cov(Meager) &lt;= dec &lt;= d and asked whether these inequalities could, consistently, be strict. By cov(Meager) is meant the least number of closed nowhere dense sets required to cover the real line and by d is denoted the least cardinal of a dominating family in omega^omega. Steprans showed that it is consistent that cov(Meager) not= dec. In this paper we show that the second inequality can also be made strict. The model where dec is different from d is the one obtained by adding omega_2 Miller - sometimes known as super-perfect or rational-perfect - reals to a model of the Continuum Hypothesis. It is somewhat surprising that the model used to establish the consistency of the other inequality, cov(Meager) not= dec, is a slight modification of the iteration of super-perfect forcing.

研究の動機と目的

• dec < d の不等号の整合性の強度を特定すること。ここで、dec は任意の Baire階層1関数を分解するのに必要な連続関数の最小数を表す。
• cov(Meager) ≤ dec ≤ d の連鎖における上界が、特に第二の不等号において厳密にできるかどうかを調査すること。
• 連続的仮説（CH）のモデル上でミラー実数を用いた強制法を用いて、dec が d よりも厳密に小さいモデルを構成すること。
• 連続的集合の基数的特徴と Baire階層1関数の分解との関係を明確にすること。

提案手法

• 連続的仮説（CH）のモデルに ω₂ 個のミラー実数を追加する強制拡張を構成すること。
• ミラー強制の性質を用いて、特定の基数不変量を保存すると同時に、特に d と dec を変更すること。
• Baire階層1関数の構造と、それらが連続関数の点별極限としてどのように表現されるかを分析すること。
• 得られたモデルにおいて、任意の Baire階層1関数が d より少ない連続関数の和に分解できることを確立すること。
• cov(Meager) と d に関する既知の結果を活用し、新モデルにおける dec の振る舞いを特定すること。
• 強制法の議論を用いて、d が大きく保たれる（ω₂ に等しい）一方で dec が小さくなることを示し、結果として dec < d を達成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 set理論のモデルにおいて、不等号 dec < d が整合的に成立しうるか？
• RQ2 任意の Baire階層1関数を分解するのに必要な連続関数の最小数が、支配数 d よりも厳密に小さいモデルを構成することは可能か？
• RQ3 ミラー実数の追加は、d と比較して基数不変量 dec にどのように影響を与えるか？
• RQ4 強制拡張において、極小集合の被覆数 cov(Meager) と分解数 dec の関係は何か？
• RQ5 cov(Meager) ≤ dec ≤ d の連鎖における両方の不等号が、厳密に成立することの整合性を確立できるか？

主な発見

• 論文は、CH のモデル上でミラー実数を用いた強制法により、dec < d となるモデルを構成し、この厳密な不等号の整合性を示している。
• 構成されたモデルにおいて、支配数 d は ω₂ に等しいまま維持されるが、分解数 dec は厳密に小さい。
• この結果により、cov(Meager) ≤ dec ≤ d の連鎖における上界を厳密にできることが示され、Cichon, Morayne, Pawlikowski, Solecki が提起した疑問に答えている。
• dec と d を分離するためのモデルは、以前に cov(Meager) と dec を分離するために用いられた超完璧強制の反復のわずかな変種である。
• この構成により、強力な強制性を持つモデルであっても、基数不変量 dec が d に等しいとは限らないことが確認された。
• 本論文は、dec ≠ d が整合的であることを確立し、これらの基数不変量の独立性に関する以前の結果を拡張している。