[論文レビュー] Decomposing Petri nets

Julian Rathke, Paweł Sobociński+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2013

Petri Nets in System Modeling参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、有向ハイパーグラフ（および1有界ペトリ・ネット）の構造的性質としての分解幅を導入し、境界付きネットの組成代数の完全な枠組みを用いた分割統治的・動的計画法的手法により、効率的な到達可能性検査を可能にする。家族としてのスパarsely connectedで木に似た構造やクライクに似た構造のネットは分解幅が有界であることが証明され、一方グリッドに似た構造のネットは分解幅が有界でないと予想されており、到達可能性解析における状態空間の爆発を回避するための重要な構造的条件が確立される。

ABSTRACT

In recent work, the second and third authors introduced a technique for reachability checking in 1-bounded Petri nets, based on wiring decompositions, which are expressions in a fragment of the compositional algebra of nets with boundaries. Here we extend the technique to the full algebra and introduce the related structural property of decomposition width on directed hypergraphs. Small decomposition width is necessary for the applicability of the reachability checking algorithm. We give examples of families of nets with constant decomposition width and develop the underlying theory of decompositions.

研究の動機と目的

• 境界付きネットの完全な代数を用いて、1有界ペトリ・ネットの到達可能性検査を制限されたケースを超えて拡張すること。
• 有向ハイパーグラフとしての構造的性質としての分解幅を定義・形式化し、分解に基づく到達可能性アルゴリズムの適用可能性を決定する。
• ワイヤリング分解の理論的基盤を構築し、合成における境界サイズの下界を導出すること。
• 定数の分解幅を有するネットのクラス（例：木に似た構造、クライク）を同定し、グリッドに似た構造のネットが有界な分解幅を有さないと予想すること。

提案手法

• 本稿は、逐次合成（‘;’）および並列合成（‘⊗’）を含む、境界付きネットの完全な組成代数を用いる。
• ワイヤリング分解を、葉がサブネットで内部ノードが合成操作を適用する木構造として定義し、モジュラーな到達可能性検査を可能にする。
• 各サブネットの到達可能性は非決定的有限オートマトン（NFA）として局所的に検査され、グローバルなNFAはSpan(Graph)合成により構築される。
• 分解幅は、任意のワイヤリング分解における最大境界サイズの最小値として形式的に定義される。
• ネットワークおよびサブネット間の接続マップを用いて、境界サイズの下界を導出する純粋合成の理論を展開する。
• これらのツールを用いて、クライク、木、グリッドなどのネットワーク族を構造的および組合的に分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ペトリ・ネットのどの構造的性質が、分解に基づく到達可能性検査を効率的に行えるか？
• RQ2 境界付きネットの完全な組成代数を用いて、制限されたネットタイプを超えて到達可能性検査を拡張可能か？
• RQ3 分割統治に基づく効率的到達可能性を可能にする正確な構造的条件（分解幅）とは何か？
• RQ4 グリッドのようなネットワーク族は、本質的に低幅の分解に耐えず、その手法が適用不可能であると予想されるか？
• RQ5 ペトリ・ネット解析の文脈において、分解幅は他の構造的パラメータ（例：木幅）とどのように関係するか？

主な発見

• スパarsely connectedで木に似た構造のネットワーク族は、有界な分解幅を有しており、提案手法により効率的な到達可能性検査が可能である。
• クライクネットも有界な分解幅を有しており、従来の検討範囲を超えて手法の適用範囲が拡張されることを示している。
• グリッドネット（例：$\{G_n\}_{n\in\mathbb{N}_+}$）は、有界な分解幅を有さないと予想されており、この手法の限界を示唆している。
• ネットワークおよび接続マップを用いて、純粋合成における境界サイズに下界を確立し、任意の分解に対して$n \geq \mathsf{dim}(\mathsf{network}_{P_2}(P_1))$が成り立つことを示した。
• $G_3$に対して、幅3未満の純粋‘;’-分解は存在しないことが示され、グリッド族が無限大の分解幅を有すると予想する根拠が得られた。
• ワイヤリング分解の理論は、境界サイズの増大と合成の意味論を分析するための形式的基盤を提供し、状態空間の爆発を回避するために不可欠である。