[論文レビュー] Decomposition of Geometric Set Systems and Graphs

Dömötör Pálvölgyi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 35被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、Pachの予想を解決し、すべての凸多角形がカバー分解可能であることを証明している。つまり、多角形の平行移動による平面の十分に高い重複度のカバーは、k個の互いに素なカバーに分解可能である。さらに、3次元では任意の凸多面体がカバー分解可能でないことが示され、有界次数のグラフの傾き数にタイトな境界が得られ、3次元グラフは5種類の異なる傾きで描けることが証明されている。

ABSTRACT

We study two decomposition problems in combinatorial geometry. The first part deals with the decomposition of multiple coverings of the plane. We say that a planar set is cover-decomposable if there is a constant m such that any m-fold covering of the plane with its translates is decomposable into two disjoint coverings of the whole plane. Pach conjectured that every convex set is cover-decomposable. We verify his conjecture for polygons. Moreover, if m is large enough, we prove that any m-fold covering can even be decomposed into k coverings. Then we show that the situation is exactly the opposite in 3 dimensions, for any polyhedron and any $m$ we construct an m-fold covering of the space that is not decomposable. We also give constructions that show that concave polygons are usually not cover-decomposable. We start the first part with a detailed survey of all results on the cover-decomposability of polygons. The second part investigates another geometric partition problem, related to planar representation of graphs. The slope number of a graph G is the smallest number s with the property that G has a straight-line drawing with edges of at most s distinct slopes and with no bends. We examine the slope number of bounded degree graphs. Our main results are that if the maximum degree is at least 5, then the slope number tends to infinity as the number of vertices grows but every graph with maximum degree at most 3 can be embedded with only five slopes. We also prove that such an embedding exists for the related notion called slope parameter. Finally, we study the planar slope number, defined only for planar graphs as the smallest number s with the property that the graph has a straight-line drawing in the plane without any crossings such that the edges are segments of only s distinct slopes. We show that the planar slope number of planar graphs with bounded degree is bounded.

研究の動機と目的

• 平面における凸集合のカバー分解可能性に関するPachの予想を解決すること。
• 平面および空間における多重カバーの互いに素なカバーへの分解を調査すること。
• 有界最大次数のグラフの傾き数および平面的傾き数を特定すること。
• 超グラフのシフトチェーンとカバー分解可能性の関係を検討すること。
• 平面的および一般グラフの直線描画に必要な傾きの数にタイトな境界を確立すること。

提案手法

• 任意のm重カバーが十分に大きなmに対して、凸多角形による平面のm重カバーがk個の互いに素なカバーに分解可能であることを、幾何的および組合せ的議論を用いて証明する。
• 3次元において、任意の凸多面体がカバー分解可能でないことを示す明示的反例を構成する。
• 特にProperty Bとシフトチェーン構成を用いた超グラフ彩色技術を応用し、カバー分解可能性を分析する。
• 傾き制約付きのグラフ描画技術を用い、幾何的埋め込みと傾きパラメータ解析を行う。
• 極値組合せ論およびLovászの局所補題を用いて、平面グラフの描画における傾き数の上限を導出する。
• 点集合および凸集合の幾何的変換を介して、傾き数問題を超グラフ彩色問題に還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 覆いの重複度mが十分に大きいとき、任意の凸多角形はk個の互いに素なカバーに分解可能か？
• RQ2 3次元空間におけるすべての凸集合はカバー分解可能か？
• RQ3 最大次数が4のグラフの傾き数は無限大に発散するか？
• RQ4 最大次数がdの任意の平面グラフはO(d)種類の異なる傾きで描けるか？
• RQ5 大きなkに対して、k-一様超グラフのシフトチェーンはProperty Bを満たすか？

主な発見

• mがkおよび多角形に依存して十分に大きい場合、凸多角形によるm重カバーはk個の互いに素なカバーに分解可能である。
• 3次元では、任意の凸多面体と任意のmに対して、2つ以上の互いに素なカバーに分解できないm重カバーが存在する。
• 最大次数が3以下のすべての平面グラフは、5種類の異なる傾きのみで描ける。
• 有界次数の平面グラフの平面的傾き数は、頂点数に依存せず有界である。
• 最大次数が5以上のグラフの傾き数は、頂点数が増加するにつれて無限大に発散する。
• 最大次数が3以下のグラフの傾きパラメータも有界であり、このようなグラフは5種類の傾きのみで埋め込むことができる。