[論文レビュー] Decomposition of Nonlinear Dynamical Systems Using Koopman Gramians

Zhiyuan Liu, Soumya Kundu+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2017

Model Reduction and Neural Networks参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、入力-クープマン作用素とディープダイナミックモード分解を用いて、混合項が存在する状況でも入力-状態分離可能クープマン表現を学習可能な、データ駆動型非線形力学系分解手法を提案する。主な貢献は、サブシステムの可観測性と外部摂動へのレジリエンスを最大化する非線形分解アルゴリズムであり、IEEE 39母線系統で検証され、マルチステップ予測誤差が0.4%未塔、制御性と可観測性のクラスタリングがバランスされた結果を得た。

ABSTRACT

In this paper we propose a new Koopman operator approach to the decomposition of nonlinear dynamical systems using Koopman Gramians. We introduce the notion of an input-Koopman operator, and show how input-Koopman operators can be used to cast a nonlinear system into the classical state-space form, and identify conditions under which input and state observable functions are well separated. We then extend an existing method of dynamic mode decomposition for learning Koopman operators from data known as deep dynamic mode decomposition to systems with controls or disturbances. We illustrate the accuracy of the method in learning an input-state separable Koopman operator for an example system, even when the underlying system exhibits mixed state-input terms. We next introduce a nonlinear decomposition algorithm, based on Koopman Gramians, that maximizes internal subsystem observability and disturbance rejection from unwanted noise from other subsystems. We derive a relaxation based on Koopman Gramians and multi-way partitioning for the resulting NP-hard decomposition problem. We lastly illustrate the proposed algorithm with the swing dynamics for an IEEE 39-bus system.

研究の動機と目的

• 複雑な非線形力学系を、分散制御性能が向上するサブシステムに分解する、原則的でデータ駆動型の手法を開発すること。
• 特にサイバー物理的ネットワークなど、エンジニアリング的直感では不十分な大規模システムにおいて、体系的な分解基準の欠如に取り組むこと。
• クープマングラミアンに基づく最適化フレームワークを用いて、内部サブシステムの可観測性と他のサブシステムからの外部摂動に対するレジリエンスを最大化すること。
• 制御を伴うシステムにまで拡張されたディープダイナミックモード分解を用い、データから入力-状態分離可能クープマン作用素を学習可能とすること。
• マルチウェイ分割とクープマングラミアンを用いたリラクゼーションベースのスケーラブルな手法により、NP困難な分解問題を解決すること。

提案手法

• 入力-クープマン作用素を導入し、入力付き非線形系における観測量の時間発展をモデル化することで、リフトされた線形表現を可能にする。
• TensorFlowを用い、20ノード、10層のResNetとELU/ドロップアウトを用いて、IEEE 39母線系統の100本のランダムな軌道からクープマン作用素を学習するディープダイナミックモード分解を実装する。
• 学習された入力-クープマン作用素からクープマングラミアンを導出し、サブシステムの可観測性（$\kappa_o$）と制御性（$\kappa_c$）を定量化する。
• クラスタ間で$\kappa_o$と$\kappa_c$をバランスさせることで、内部可観測性と摂動レジリエンスを最大化する非線形分解アルゴリズムを開発する。
• クープマングラミアンとマルチウェイ分割に基づくリラクゼーション技術を用いて、NP困難な分解問題を解く。
• $\kappa_o$と$\kappa_c$を正規化し、スケールの違いを補正し、公平なクラスタリングを可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合状態-入力項を有する非線形系が、入力-状態分離可能クープマン作用素によってどの条件下で近似可能となるか？
• RQ2 入力と状態の項が分離不可能であっても、ディープダイナミックモード分解が制御付きシステムのクープマン作用素を正確に学習可能か？
• RQ3 クープマングラミアンを用いて、サブシステムの可観測性と摂動レジリエンスを最大化する原則的分解基準を定義可能か？
• RQ4 クープマンベースの指標を用いたリラクゼーションベースのマルチウェイ分割アルゴリズムは、NP困難な分解問題を効果的に解けるか？
• RQ5 本手法の分解は、空間的または接続性に基づくクラスタリングと比較して、電力系統動的特性におけるレジリエンスと可観測性の観点で優れているか？

主な発見

• ディープダイナミックモード分解法は、IEEE 39母線系統において未学習の初期条件を用いた1ステップ予測誤差が0.01%未塔、1ステップごとのマルチステップ予測誤差が0.4%未塔を達成した。
• アルゴリズムは、主に空間的に一貫性のある発電機のゾーンクラスタリングを的確に同定したが、発電機6は制御性と可観測性スコアが低く、孤立して分離された。
• クラスタ間で$\kappa_c$の最大変動が0.33434、$\kappa_o$の最大変動が0.09744に抑えられ、サブシステム性能のバランスが取れていることが示された。
• 発電機2は高い可観測性（$\kappa_o$）を示したが、低い制御性（$\kappa_c$）であったため、外部摂動に対して脆弱であったが、アルゴリズムは戦略的クラスタリングによりこれを是正した。
• 物理的近接性ではなく、入出力耐性と内部可観測性に焦点を当てた本手法は、空間的エリア割り当てを上回る性能を示した。
• クープマングラミアンに基づく分解は、大規模システムにおけるヒューリスティック的またはトポロジーに基づくサブシステム分割の代替として、スケーラブルなデータ駆動型手法を提供した。