[論文レビュー] Decomposition of $q$-deformed Fock spaces

Masaki Kashiwara, Tetsuji Miwa+1 more|ArXiv.org|Aug 14, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 4被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、$U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ のレベル1 $q$-deformed Fock空間を $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$-Heisenberg bimodule として分解することを確立し、それが $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ の最高重層表現とHeisenberg代数のFockモジュールのテンソル積に同型であることを示している。主な結果は、$q$-wedge作用素が量子アフィン代数とHeisenberg代数からの成分に分解可能であり、頂点作用素と交換関係を通じて明示的な実現がなされることである。

ABSTRACT

A decomposition of the level-one $q$-deformed Fock representations of $\uqn$ is given. It is found that the action of $\upqn$ on these Fock spaces is centralized by a Heisenberg algebra, which arises from the center of the affine Hecke algebra $\widehat{H}_N$ in the limit $N ightarrow \infty$. The $q$-deformed Fock space is shown to be isomorphic as a $\upqn$-Heisenberg-bimodule to the tensor product of a level-one irreducible highest weight representation of $\upqn$ and the Fock representation of the Heisenberg algebra. The isomorphism is used to decompose the $q$-wedging operators, which are intertwiners between the $q$-deformed Fock spaces, into constituents coming from $\upqn$ and from the Heisenberg algebra.

研究の動機と目的

• $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ のレベル1 $q$-deformed Fock空間を既約成分に分解すること。
• $N \to \infty$ の極限において、アフィンヘッケ代数 $\widehat{H}_N$ の中心の極限として生じるHeisenberg代数の中心的作用を同定すること。
• $q$-wedge作用素を相互作用素として実現し、$U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ とHeisenberg代数からの寄与に分解すること。
• $q$-deformed Fock空間と最高重層表現およびHeisenberg Fockモジュールのテンソル積との間のbimodule同型を確立すること。

提案手法

• $V(z) = \mathbb{C}^n \otimes \mathbb{C}[z,z^{-1}]$ の評価モジュールのテンソル積上の無限大 $q$-wedgeを用いて $q$-deformed Fock空間を構成する。
• $q$-Serre関係式と $q$-deformed 交換関係を用いて、$U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ の生成子 $E_i, F_i, K_i^{\pm 1}$ を $V(z)$ に作用させる。
• $B_a$ がFock空間に作用するHeisenberg代数を導入し、交換子 $[B_a, B_{-a}] = a \frac{1 - q^{2na}}{1 - q^{2a}}$ を満たす。
• $q$-wedge 相互作用素 $\Omega'(w)$ を、$U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$-相互作用素 $\tilde{\Phi}^*(w)$ とHeisenberg代数の頂点作用素 $\Xi(w)$ のテンソル積として実現する。
• 頂点作用素の2点関数を比較し、生成関数の係数一致を用いて交換子 $[B_a, B_{-a}]$ を導出する。
• $U_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ のホップ代数構造と $d$-次数を活用し、相互作用素構成における次数を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ の作用が、Heisenberg代数が中心的に作用する $q$-deformed Fock空間上でどのように分解されるか。
• RQ2 $q$-deformed Fock空間間の $q$-wedge 相互作用素の正確な構造は何か。
• RQ3 $q$-deformed Fock空間を $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ とHeisenberg代数の両方の代数上のbimoduleとして実現できるか。
• RQ4 $q$-wedge 相互作用素から生じるHeisenberg生成子 $B_a$ と $B_{-a}$ 間の交換関係は何か。
• RQ5 $q$-wedge作用素の2点関数は、Heisenberg代数の構造をどのように制約するか。

主な発見

• $q$-deformed Fock空間は、$U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$-Heisenberg bimoduleとして、$U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ のレベル1既約最高重層表現とHeisenberg代数のFockモジュールのテンソル積に同型である。
• $q$-wedge 相互作用素 $\Omega'(w)$ は $\tilde{\Phi}^*(w) \otimes \Xi(w)$ に分解され、ここで $\tilde{\Phi}^*(w)$ は $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$-相互作用素であり、$\Xi(w)$ はHeisenberg代数の頂点作用素である。
• 2点関数の比較により、交換子 $[B_a, B_{-a}]$ が明示的に $a \frac{1 - q^{2na}}{1 - q^{2a}}$ として計算される。
• $q$-wedge作用素 $\Omega_m(w)$ の2点関数は $\frac{1 - w_2/w_1}{1 - q^2 w_2/w_1}$ で与えられ、これは $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ とHeisenberg成分の積に一致する。
• 頂点作用素 $\Xi(w)$ は $\exp\left(\sum_{b \geq 1} \frac{B_{-b} w^b}{\gamma_b}\right) \exp\left(-\sum_{b \geq 1} \frac{B_b w^{-b}}{\gamma_b}\right)$ として実現され、ここで $\gamma_b = [B_b, B_{-b}]$ である。
• 同型は $U'_q(\widehat{\mathfrak{sl}}_n)$ およびHeisenberg代数の両方の作用のもとで保存され、bimodule構造が確認される。