[論文レビュー] Decomposition of Reachable Sets and Tubes for a Class of Nonlinear Systems

Mo Chen, Sylvia Herbert+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2016

Robotic Path Planning Algorithms参考文献 46被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、状態、制御、摂動が結合された非線形制御系の後向き到達集合（BRS）および後向き到達チューブ（BRT）を計算するための分解手法を提案する。システムを低次元の部分系に分解し、追加の近似誤差を生じさせることなく、完全なBRS/BRTを再構成することで、ハミルトニアン・ジャコビ（HJ）定式化を用いた効率的で高次元の到達可能性解析を可能にする。6次元および10次元のクアッドローター・モデルを用いた実験により、計算速度が桁違いに向上することを示した。

ABSTRACT

Reachability analysis provides formal guarantees for performance and safety properties of nonlinear control systems. Here, one aims to compute the backward reachable set (BRS) or tube (BRT) -- the set of states from which the system can be driven into a target set at a particular time or within a time interval, respectively. The computational complexity of current approaches scales exponentially, making application to high-dimensional systems intractable. We propose a technique that decomposes the dynamics of a general class of nonlinear systems into subsystems which may be coupled through common states, controls, and disturbances. Despite this coupling, BRSs and BRTs can be computed efficiently using our technique without incurring additional approximation errors and without the need for linearizing dynamics or approximating sets as polytopes. Computations of BRSs and BRTs now become orders of magnitude faster, and for the first time BRSs and BRTs for many high-dimensional nonlinear control systems can be computed using the Hamilton-Jacobi (HJ) formulation. In situations involving bounded adversarial disturbances, our proposed method can obtain slightly conservative results. We demonstrate our theory by numerically computing BRSs and BRTs using the HJ formulation for several systems, including the 6D Acrobatic Quadrotor and the 10D Near-Hover Quadrotor.

研究の動機と目的

• 高次元・非線形・安全に重点を置いたシステムにおける到達可能性解析の計算不能性に対処すること。
• 線形化や多角形近似を用いずに、後向き到達集合（BRS）およびチューブ（BRT）の正確な計算を可能にすること。
• 結合された非線形系を、共有される状態、制御、摂動を介して結合された低次元部分系に分解すること。
• 部分系の計算結果から、完全次元のBRS/BRTを正確または保守的に再構成できる理論的条件を提供すること。
• 6次元のアクロバティックおよび10次元のニアホーバークアッドローターを含む、高次元システムにおける本手法のスケーラビリティと正確性を実証すること。

提案手法

• システムは、共有される状態、制御、摂動を介して結合された部分系に分解され、低次元BRSおよびBRTを独立して計算可能となる。
• グリッドベースで柔軟な集合表現を可能にするハミルトニアン・ジャコビ（HJ）定式化を用い、一般の非線形動的系、制御、摂動を扱える。
• 部分系の結果を用いた積集合または和集合の操作により、後向き到達集合を再構成する。操作の選択は、結合構造およびターゲット集合の定義に依存する。
• 共有摂動を有するシステムに対しては、最小／最大BRSの和集合または積集合を用いた保守的な再構成が提供される。
• 動的プログラミングの原則および可視化解理論を用いて、正確または保守的な再構成が可能な理論的条件が導出される。
• 本手法は任意のBRS/BRT計算手法と互換性があり、既存のHJベースのソルバとの統合が可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 状態・制御・摂動が結合された高次元非線形系に対して、後向き到達集合およびチューブを効率的に計算できるか？
• RQ2 非線形系を結合された部分系に分解することで、線形化や集合近似を用いずにBRSおよびBRT計算の正確性を保持できるか？
• RQ3 どのような条件下で、低次元部分系の計算結果から完全次元のBRSまたはBRTを正確に再構成できるか？
• RQ4 共有される制御および摂動の存在が、BRSおよびBRTの再構成に与える影響は何か？
• RQ5 本分解手法は、完全次元系に対する直接的なHJベースの計算と比較して、どの程度の計算的利得を得られるか？

主な発見

• 提案手法により、制御および状態が共有されるシステムに対して、追加の近似誤差を生じさせることなく、後向き到達集合（BRS）の正確な再構成が可能となった。
• 摂動が共有されるシステムに対しては、部分系の結果の和集合または積集合を用いて、保守的ではあるが計算可能なBRSおよびBRTの再構成が提供された。
• 本手法により、BRSおよびBRTの計算速度が桁違いに向上し、HJ定式化を用いた高次元の到達可能性解析が、初めて実行可能となった。
• 数値実験により、6次元のアクロバティッククアッドローターおよび10次元のニアホーバークアッドローター（両者とも有界な敵対的摂動を想定）において、本手法の有効性が確認された。
• 理論的保証により、部分系が制御および状態を共有する場合には再構成されたBRSおよびBRTが正確であり、摂動が共有される場合には保守的であることが保証された。
• 本手法は、任意の既存のBRS/BRT計算手法と互換性があり、最先端のHJソルバとのシームレスな統合が可能である。