[論文レビュー] Decomposition of stencil update formula into atomic stages

Qiqi Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Diamond and Carbon-based Materials Research参考文献 36被引用数 3

ひとこと要約

本論文では、偏微分方程式を解く際に用いられる複雑なスタencil更新式を、直近の隣接要素のみにアクセスする原子的段階の列に分解する効率的なアルゴリズムを提示する。分解問題を最小コストネットワークフロー問題の双対として定式化することにより、高速かつ最適な分解が可能となり、標準のCPU上で3次元のEuler方程式のスタencilを0.25秒未塔で8段階に分解することに成功した。

ABSTRACT

In parallel solution of partial differential equations, a complex stencil update formula that accesses multiple layers of neighboring grid points sometimes must be decomposed into atomic stages, ones that access only immediately neighboring grid points. This paper shows that this requirement can be formulated as constraints of an optimization problem, which is equivalent to the dual of a minimum-cost network flow problem. An optimized decomposition of a single stencil on one set of grid points can thereby be computed efficiently.

研究の動機と目的

• マス・スケールの並列計算に適した、複雑なスタencil更新式を原子的段階に効率的に分解する課題に対処すること。
• 直近の隣接要素へのアクセスのみを要件とする原子的更新式を必要とする、スイープド・デコンポジションのような高度な並列アルゴリズムの適用を可能とすること。
• OP2、Patus、Simitなどのスタencilコンパイラやループ最適化ツールにおける前処理ステップを提供すること。
• 大規模スタencil式を、コンactな管理可能な段階の列に変換することで、スタencilベースのPDEシミュレーションにおける計算複雑度を低減すること。
• 複雑なスタencilに対して、ブルートフォースな組み合わせ的探索を避ける、自動的かつ最適化された分解プロセスを実現すること。

提案手法

• 各段階が原子的（直近の隣接要素のみにアクセス）でかつ入出力の意味論を保持する制約付き最適化問題としてスタencil分解問題を定式化する。
• 問題を最小コストネットワークフロー問題の双対として再定式化し、線形計画法を用いて効率的に解けるようにする。
• スタencil更新式を、頂点（演算）と辺（データ依存関係）からなる計算グラフとしてモデル化し、ノードの値を中間結果として表現する。
• ネットワークフローの双対性を用いて、データ依存関係と原子的制約を満たしつつ段階数を最小化する線形計画問題を導出する。
• 問題の特殊構造を活用して高速化を図る、効率的な線形計画法ソルバを適用し、最適な分解を計算する。
• Pythonでアルゴリズムを実装し、スタencilコンパイラや数値シミュレーションフレームワークの前処理モジュールとして統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模スタencilを有する複雑なスタencil更新式を、直近の隣接要素へのアクセスのみを満たす原子的段階に体系的かつ効率的に分解できるか？
• RQ2 組み合わせ的複雑性が著しい分解問題を、取り扱い可能な最適化問題に変換する数学的定式化は存在するか？
• RQ3 高性能コンputングワークロードにおける実用的用途に耐えるほど、分解が十分に高速に計算可能か？
• RQ4 最小コストネットワークフロー問題の双対は、スタencil分解に対して正確かつ最適な解を提供するか？
• RQ5 この手法は、3次元Euler方程式の4次精度Runge-Kuttaスキームのような実世界の高次PDEソルバーに適用可能か？

主な発見

• 8レベルの隣接要素をカバーする大規模スタencilを持つ3次元Euler方程式の更新式の分解が、標準のラップトップCPU上で約0.25秒で成功した。
• 得られた分解は8つの原子的段階から構成され、平均して1段階あたり186.625のノードと、連続する段階間で平均6.785個の共有ノードを有した。
• Euler方程式の式に対応する計算グラフは1424頂点と2106辺を有し、そのうち432辺がスイープされた辺（データ再利用を示す）であった。
• ブルートフォースな組み合わせ的探索の非現実的複雑性を避けるために、最小コストネットワークフロー問題の双対を解くことで、最適な分解が達成された。
• このアルゴリズムは、スタencilコンパイラや並列実行フレームワークのための自動的かつ効率的な前処理を可能とし、複雑な数値スキームの導入を著しく簡素化した。
• 本手法は一般性を有し、高次時間積分スキームや複雑なスタencilを有する保存則を満たす有限差分スキームを含む、任意のスタencil更新式に適用可能である。