[論文レビュー] Decompositions of complete multipartite graphs via generalized graceful labelings

Anna Miriam Benini, Anita Pasotti|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2012

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般化されたグラスフルラベリング技術を用いて、ハートリーパラ、ヘアリーサイクル、およびサイクルのd-可除αラベリングの新規構成を提示し、完全多部グラフにおける無限族の巡回的分解を確立する。主な貢献は、このようなラベリングが、無限個のペア $(m,n)$ に対して $K_{m \times n}$ の巡回的Γ分解の存在を示すことである。これは、古典的なαラベリングおよびグラスフルラベリングの結果をより広いグラフ族およびパラメータに拡張するものである。

ABSTRACT

We prove the existence of infinite classes of cyclic G-decompositions of the complete multipartite graph, G being a caterpillar, a hairy cycle or a cycle. All the results are obtained by the construction of d-divisible $α$-labelings of G, introduced in [A. Pasotti, On d-graceful labelings, to appear on Ars Combin.] as a generalization of classical $α$-labelings, whose existence implies that one of graph decompositions.

研究の動機と目的

• グラフ分解の文脈において、古典的なαラベリングおよびグラスフルラベリング技術を、一般化されたd-可除フレームワークに拡張すること。
• ハートリーパラ、ヘアリーサイクル、およびサイクルなどの特定のグラフ族に対して、d-可除αラベリングの存在を確立すること。
• このようなラベリングが、無限個のパラメータペア $(m,n)$ に対して完全多部グラフ $K_{m \times n}$ における巡回的Γ分解の存在を示すこと。

提案手法

• 古典的なαラベリングおよび奇数グラスフルラベリングの一般化として、d-可除αラベリングの概念を導入し、形式化すること。
• 標準α_Sラベリングと呼ばれる新しいラベリング方式を用いて、ハートリーパラに対する明示的なd-可除αラベリングを構成すること。
• d-可除αラベリングの存在を根拠に、定理1.4を用いて $K_{(\frac{e}{d}+1)\times 2dn}$ の巡回的Γ分解を導出すること。
• 根元のハートリーパラ構造と辺の種別に基づいて、ヘアリーサイクルおよびサイクルに対するケースバイケースのラベリング構成を提供すること。
• 辺の種別（A/Bからのパピルス辺、[x_s,y_{s-1}]または[x_s,y_s]形式のサイクル辺）に応じたラベリング規則を区別し、単射性および正しい差分集合を保証すること。
• t > 1 が奇数である場合のヘアリーサイクル $H(2t,1)$ に対する2-可除αラベリングを明示的に構成し、$t \mod 4$ による場合分けを実施すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の許容可能なdに対して、ハートリーパラに対してd-可除αラベリングを体系的に構成できるか？
• RQ2 ヘアリーサイクルおよびサイクルは、すべての許容可能なd値に対してd-可除αラベリングを有するか。特に、すべてのサイクル頂点の次数が等しい場合にそのようなラベリングが存在するか？
• RQ3 どのような無限族の完全多部グラフ $K_{m \times n}$ が、ハートリーパラ、ヘアリーサイクル、またはサイクルへの巡回的分解を有するか？
• RQ4 d-可除αラベリングは、グラフ分解の文脈において、古典的なαラベリングおよびグラスフルラベリングをどのように一般化するか？
• RQ5 サイクルおよびヘアリーサイクルのどのような構造的性質が、すべての許容可能なdに対してd-可除αラベリングの存在を可能にするか？

主な発見

• 任意のハートリーパラおよび任意の許容可能なdに対してd-可除αラベリングが存在し、これにより無限族の巡回的分解が構成可能である。
• サイズeのグラフΓに対してd-可除αラベリングが存在するならば、任意の正の整数nに対して $K_{(\frac{e}{d}+1)\times 2dn}$ に巡回的Γ分解が存在する。
• 二部グラフのヘアリーサイクルは奇数αラベリングを有し、すべてのサイクル頂点の次数が等しい場合、任意の許容可能なdに対してd-可除αラベリングを有する。
• 任意の正の整数kに対して、サイクル $C_{4k}$ はすべての許容可能なd値に対してd-可除αラベリングを有する。
• t > 1 が奇数である場合の $H(2t,1)$ に対する2-可除αラベリングは明示的に構成されており、$t \equiv 1 \pmod{4}$ および $t \equiv 3 \pmod{4}$ の場合に別々に処理されている。
• d=1の場合、構築されたd-可除αラベリングは、ローザによるハートリーパラおよびサイクルの古典的αラベリングを回復する。