[論文レビュー] Decompositions of general quantum gates

Mikko Möttönen, Juha J. Vartiainen|ArXiv.org|Apr 14, 2005

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 3被引用数 88

ひとこと要約

本稿では、コサイン・サイン行列分解（CSD）を用いた一般のnキュービット量子ゲートの改善された分解を提示し、CNOTゲートの主要項数を $rac{23}{48}4^n$ まで低減した。これはこれまでに得られた中で最小の値である。本手法は一様制御ゲートを活用し、線形キュービット鎖における最近接相互作用を最適化することで、回路の深さと実験的オーバーヘッドを顕著に低減しながら、普遍性と効率性を維持している。

ABSTRACT

Quantum algorithms may be described by sequences of unitary transformations called quantum gates and measurements applied to the quantum register of n quantum bits, qubits. A collection of quantum gates is called universal if it can be used to construct any n-qubit gate. In 1995, the universality of the set of one-qubit gates and controlled NOT gate was shown by Barenco et al. using QR decomposition of unitary matrices. Almost ten years later the decomposition was improved to include essentially fewer elementary gates. In addition, the cosine-sine matrix decomposition was applied to efficiently implement decompositions of general quantum gates. In this chapter, we review the different types of general gate decompositions and slightly improve the best known gate count for the controlled NOT gates to (23/48)4^n in the leading order. In physical realizations, the interaction strength between the qubits can decrease strongly as a function of their distance. Therefore, we also discuss decompositions with the restriction to nearest-neighbor interactions in a linear chain of qubits.

研究の動機と目的

• 一般のnキュービット量子ゲートを分解するために必要なCNOTゲートの数を削減すること。これは、普遍的量子計算における高いリソースコストを解決することを目的としている。
• QRおよびNQ分解といった既存の分解手法を改善し、CNOTおよび1キュービットゲートの両方の数を最小限に抑えること。
• 物理的制約、例えば線形アーキテクチャにおける最近接キュービット相互作用に適応した効率的な量子回路実装を可能にすること。
• 局所的状態準備のための実用的フレームワークを提供し、任意の入力状態を最小限のゲートオーバーヘッドで所望のターゲット状態に変換可能にすること。
• キュービットの接続性などの物理的制約を考慮した場合のゲート数を最適化し、実験的実装可能性を高めること。

提案手法

• nキュービットユニタリ操作をより単純な制御ゲートに再帰的に分解するための核心的数学的道具として、コサイン・サイン行列分解（CSD）を用いる。
• 複雑な量子操作の効率的分解を可能にする基本的ブロックとして、一様制御ゲート（UCGs）を採用する。
• ゲート構造を単純化し、必要なCNOT数を削減するために、量子マルチプレクサ（QM）技術を適用する。
• 位相整合性を保ちながらゲート数を削減するために、$\tilde{F}^{i-1}_i(U(2))$ ゲートを用いた変更されたゲートシーケンスを導入する。
• 局所的ゲート再順序付けを再帰的に適用することで、相互作用の局所性を保ちながら、線形最近接近接アーキテクチャに適合させるCSDの応用を実施する。
• 各ステップで非ゼロの振幅数を半分に減らす再帰的分解戦略を採用し、ゲート複雑性を指数関数的に低減する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のnキュービット量子ゲートを分解するために必要なCNOTゲートの最小数は何か？
• RQ2 最近接キュービット間の2キュービット相互作用のみが許可されている場合、分解はどのように最適化できるか？
• RQ3 コサイン・サイン分解（CSD）は、QR分解やNQ分解よりもCNOTおよび1キュービットゲート両方の数を低減できるか？
• RQ4 局所的状態準備の最適なゲート数とは何か、すなわち任意の入力状態を所望のターゲット状態に変換する際の最小ゲートオーバーヘッドは何か？
• RQ5 キュービット接続性などの物理的制約が課された場合、ゲート数はどのようにスケーリングするか？

主な発見

• 本稿は、一般のnキュービットゲート分解において、これまでに得られた中で最小の既知の主要項CNOT数 $rac{23}{48}4^n$ を達成した。
• コサイン・サイン分解（CSD）法は、$O(n^3 4^n)$ の非常に高い複雑性を示すQR分解と比較して、CNOTおよび総ゲート数の両方を顕著に低減した。
• 線形鎖における最近接相互作用の場合、CNOT数は2倍未満にしか増加せず、主要項で $rac{5}{6}4^n$ にまで達するが、物理的実装において非常に効率的である。
• CSDと量子マルチプレクサを組み合わせることで、基本ゲート総数（CNOTと1キュービットゲート）を最小化し、主要項で $rac{4^n}{2}$ 個のCNOTと $rac{4^n}{2}$ 個の1キュービットゲートを達成した。
• CSDに基づくアプローチにより、$2 \cdot 2^n - 2n - 2$ 個のCNOTと $2 \cdot 2^n - n - 2$ 個の1キュービットゲートを用いた効率的な局所的状態準備が可能になった。入力またはターゲット状態が計算基底状態の場合、これらの数は半分に削減される。
• 表2および表3に示すように、CSDベースのアプローチはQRおよびNQ分解を上回るゲート効率を示し、すべての $n \geq 2$ において総ゲート数が最小である。