[論文レビュー] Decompositions of stochastic processes based on irreductible group representations

Giovanni Peccati, Jean‐Renaud Pycke|ArXiv.org|Sep 23, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、コンpakト位相群が作用する空間上でインデックス付けられた確率過程の一般化された分解を、既約群表現から導かれる直交射影を用いて提示する。主な貢献は、ブラウン運動ブリッジの二次的関数へのウォーソンの二重化恒等式を表現論的解釈することであり、この恒等式は群作用 (Z/2Z) と不変測度に起因し、1/4の係数は射影作用素の正規化から自然に生じる。

ABSTRACT

Let G be a topological compact group acting on some space Y. We study a decomposition of Y-indexed stochastic processes, based on the orthogonality relations between the characters of the irreducible representations of G. In the particular case of a Gaussian process with a G-invariant law, such a decomposition gives a very general explanation of a classic identity in law - between quadratic functionals of a Brownian bridge - due to Watson (1961). Several relations with Karhunen-Loève expansions are discussed, and some applications and extensions are given - in particular related to Gaussian processes indexed by a torus.

研究の動機と目的

• コンパクト群の既約表現を用いた確率過程の一般化された分解の開発。
• ブラウン運動ブリッジの二次的関数に対するウォーソン1961年の二重化恒等式を、群の対称性と表現論を用いて解釈すること。
• トーラス上にインデックス付けられたガウス過程への分解の一般化および類似恒等式が成立するための必要十分条件の確立。
• 提案された分解がカルフーン＝ローヴェの展開とどのように関連するかを特定し、構造的類似性を同定すること。

提案手法

• コンパクト群 G の既約表現のキャラクター間の直交性関係を用い、L²(G) を行列係数の直交部分空間に分解する。
• 索引空間 Y に G の作用を定義し、過程のパスが L²(G) 内で変換されることを保証することで、過程 Z を既約表現 [π] ∈ Ĝ でインデックスされた成分 Z^π に分解する。
• キャラクターとの畳み込みによる射影作用素を適用し、異なる [π], [σ] ∈ Ĝ に対して、Z を無相関成分 Z^π と Z^σ に分解する。
• G-不変な分布を有するガウス過程に対して、キャラクターが実数である場合、成分 Z^π と Z^σ が確率的に独立であることを示す。
• 翻訳不変な共分散関数を仮定する（仮定 D）ことで、トーラス上のガウス過程のカルフーン＝ローヴェの展開を確立し、双対格子上のフーリエ解析から導かれる係数を有するコサイン・サイン級数を得る。
• 仮定 D の下で、過程の L² 範囲が、2つの独立な過程 X₁ と X₂ の二乗の重み付き和に等しくなることを証明し、ウォーソンの恒等式を一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群不変な分布を有する確率過程は、コンパクト群の既約表現を用いてどのように分解可能か？
• RQ2 ウォーソンのブラウン運動ブリッジの二次的関数に対する二重化恒等式の表現論的起源は何か？
• RQ3 トーラス上に定義されたガウス過程が、その二次変動に関して一般化されたウォーソン型恒等式を満たすための条件は何か？
• RQ4 翻訳不変な共分散関数を持つ場合、提案された分解はカルフーン＝ローヴェの展開とどのように関連するか？
• RQ5 ウォーソンの恒等式に現れる係数 1/4 はなぜ現れるのか？そして、群表現論から自然に導けるか？

主な発見

• ウォーソンの二重化恒等式は、[0,1] 上の Z/2Z 群作用とルベーグ測度の不変性に起因し、1/4 の係数は射影作用素の正規化に由来する。
• 分解 Z = ∑[π]∈Ĝ Z^π により、異なる [π], [σ] に対して Z^π と Z^σ は無相関であり、Z がガウス過程でキャラクターが実数であれば独立である。
• 仮定 D（翻訳不変な共分散）を満たす n 次元トーラス T_Γ 上のガウス過程に対して、∫_T X²(t)dm(t) = (1/4)∫_T X₁²(t)dm(t) + (1/4)∫_T X₂²(t)dm(t) が成り立ち、X₁ と X₂ は独立なコピーである。
• 仮定 D の下で、このような過程のカルフーン＝ローヴェの展開は、X(t) = ∑_{v∈Γ*} λ_v α_v (ξ_v cos(2π⟨v|t⟩) + ξ'_v sin(2π⟨v|t⟩)) の形を取り、直交するコサイン項とサイン項を有する。
• X₁(t) = (X(t) - X(-t))/2 と X₂(t) = (X(t) + X(-t))/2 は独立で、中心化されたガウス過程であり、∫_T X₁² dm = ∫_T X₂² dm が法則的に成り立つ。
• この分解は、ガウス過程の二次的関数の法則的恒等式を一般化するフレームワークを提供し、ウォーソンの恒等式を高次元トーラスや他の対称的設定へと拡張する。