[論文レビュー] Decorated Corelations

Brendan Fong|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、(E,M)-分解系を介して因数分解されるコスパン（corelations）と、Setへの対称ラクスモノイド関手を組み合わせることで、各対象に特別な可換 Frobenius モノイド構造を持つハイパーグラフ圏（対称モノイド圏）を構成するための方法として装飾付きコスパン（decorated corelations）を導入する。主な貢献は、電気回路などのネットワーク型システムの間で、内部構造を無視することで意味論を保存した効率的な合成を可能にする一般化された構成法であり、装飾関手間の自然変換を通じてハイパーグラフ関手を体系的に定義する手法を提供することにある。

ABSTRACT

Let $\mathcal C$ be a category with finite colimits, and let $(\mathcal E,\mathcal M)$ be a factorisation system on $\mathcal C$ with $\mathcal M$ stable under pushouts. Writing $\mathcal C;\mathcal M^{\mathrm{op}}$ for the symmetric monoidal category with morphisms cospans of the form $\stackrel{c} o \stackrel{m}\leftarrow$, where $c \in \mathcal C$ and $m \in \mathcal M$, we give method for constructing a category from a symmetric lax monoidal functor $F\colon (\mathcal C; \mathcal M^{\mathrm{op}},+) o (\mathrm{Set}, imes)$. A morphism in this category, termed a \emph{decorated corelation}, comprises (i) a cospan $X o N \leftarrow Y$ in $\mathcal C$ such that the canonical copairing $X+Y o N$ lies in $\mathcal E$, together with (ii) an element of $FN$. Functors between decorated corelation categories can be constructed from natural transformations between the decorating functors $F$. This provides a general method for constructing hypergraph categories---symmetric monoidal categories in which each object is a special commutative Frobenius monoid in a coherent way---and their functors. Such categories are useful for modelling network languages, for example circuit diagrams, and such functors their semantics.

研究の動機と目的

• ネットワーク言語（例：回路図）を、その構成的・意味論的構造を尊重する形で、圏論的枠組みでモデル化するための枠組みを構築すること。
• 装飾付きコスパンが合成の際に不要な内部的詳細を保持するという非効率性、特に意味論的モデルにおいて顕著な問題を解決すること。
• コスパンと対称ラクスモノイド関手を用いた一般化されたハイパーグラフ圏の構成法を提供し、ネットワーク風の合成と整合性を保つこと。
• 装飾関手間の自然変換を通じて、このような圏間のハイパーグラフ関手を構成し、意味論的マッピングを容易にすること。
• 具体的な例（線形関係 LinRel、電気回路など）を用いて、この手法の実用的有用性を示すこと。

提案手法

• 有限余極限を持つ圏 C における (E,M)-分解系に基づき、コスパン X →N ←Y で、合併写像 X+Y →N が E に属するものをコスパン（corelations）と定義する。
• 対象が C に属し、射の始域と終域が M に属するコスパンからなる、対称モノイド圏 C;M^op を構成し、モノイド構造は直和で与える。
• 対称ラクスモノイド関手 F: (C;M^op, +) →(Set, ×) を適用し、部分空間や回路構成など、追加のデータでコスパンを装飾する。
• 装飾付きコスパンを、コスパン X →N ←Y（合併写像が E に属する）と FN の要素のペアとして定義し、合成は余押し出しと F の函手性に基づいて定義する。
• M が余押し出しに関して安定である場合、コスパンの合成によって誘導される Frobenius モノイド構造により、結果の圏がハイパーグラフ圏構造を備えることを保証する。
• 装飾関手 F と G 間の自然変換を通じて、装飾付きコスパン圏間の関手を構成し、ハイパーグラフ構造を保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ネットワークの合成をモデル化する際、不要な内部構造を無視できるハイパーグラフ圏をどのように構成できるか？
• RQ2 分解系 (E,M) にどのような条件を課すと、コスパンがハイパーグラフ圏を形成するか？
• RQ3 装飾付きコスパンを用いて、回路図から線形関係へのようなネットワークモデル間のハイパーグラフ関手をどのように定義できるか？
• RQ4 LinRel が装飾付きコスパン圏として一般化された方法から導出可能か？その結果、制御不能なシステムの意味論に何を示唆するか？
• RQ5 開システムの意味論をモデル化する際、装飾付きコスパンに比べて装飾付きコスパンアプローチがどのように改善されるか？

主な発見

• C が有限余極限を持ち、(E,M) が M が余押し出しに関して安定な分解系であるならば、C におけるコスパンはハイパーグラフ圏を形成することを確立した。
• 装飾付きコスパンは、コスパン X →N ←Y（合併写像が E に属する）と、対称ラクスモノイド関手 F による FN の要素のペアとして定義される。
• この構成により、有限集合の圏と同型写像・射の分解系を用い、F として k^N の部分空間への写像を表す Lin: FinSet →Set を適用すると、その射は線形関係と同型であるハイパーグラフ圏が得られる。
• 装飾付きコスパンによる構成で得られる圏 LinCorel は、有限次元ベクトル空間と線形関係からなる圏 LinRel と同型であり、線形系のコスパン的基盤を提供する。
• 回路図の装飾付きコスパン圏から LinRel へのハイパーグラフ関手は、回路関手 Circ から Lin∘γ へのモノイド的自然変換を通じて構成可能である。ここで γ は有限集合をコスパンに埋め込む関手である。
• この手法は任意のハイパーグラフ圏に一般化可能であり、装飾関手間の自然変換を通じてハイパーグラフ関手を構成可能であり、構文的・意味論的モデルの統合を実現する。