[論文レビュー] Decycling a Graph by the Removal of a Matching: Characterizations for Special Classes

Fábio Protti, Uéverton S. Souza|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2017

Advanced Graph Theory Research参考文献 6被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、マッチングを削除することで無閉路化可能なグラフ（マッチング・デサイクル可能グラフ）のNP完全性と認識可能性を調査する。ハミルトン性を有する3正則グラフで、正確に2つの次数2頂点を持つ場合のNP完全性を示し、弦的グラフおよび距離誘導的グラフに対して、構造的特徴付けを用いた線形時間認識アルゴリズムを提供する。

ABSTRACT

A graph $G$ is {\em matching-decyclable} if it has a matching $M$ such that $G-M$ is acyclic. Deciding whether $G$ is matching-decyclable is an NP-complete problem even if $G$ is 2-connected, planar, and subcubic. In this work we present results on matching-decyclability in the following classes: Hamiltonian subcubic graphs, chordal graphs, and distance-hereditary graphs. In Hamiltonian subcubic graphs we show that deciding matching-decyclability is NP-complete even if there are exactly two vertices of degree two. For chordal and distance-hereditary graphs, we present characterizations of matching-decyclability that lead to $O(n)$-time recognition algorithms.

研究の動機と目的

• グラフがマッチング・デサイクル可能かどうかを決定する計算複雑性を、特に制限付きグラフクラスにおいて特定すること。
• 弦的および距離誘導的グラフにおけるマッチング・デサイクル可能性の特徴付けを提供し、効率的な認識を可能にすること。
• 2-連結性、平面性、3正則性といった強い制約下でも、マッチング・デサイクル可能性がNP完全のまま継続することを確立すること。
• 弦的および距離誘導的グラフにおけるマッチング・デサイクル可能性の線形時間認識アルゴリズムを設計すること。

提案手法

• 単体的頂点およびクリークツリーの性質を用いて、弦的グラフにおけるマッチング・デサイクル可能性を特徴付ける。
• 特にパビリオンおよびジョイント操作による分解構造を活用し、距離誘導的グラフの構造を用いて認識条件を導出する。
• 既知のNP完全問題への還元を用いて、ハミルトン性を有する3正則グラフにおけるNP完全性を証明する。この際、次数2の頂点が正確に2つであることを制約条件とする。
• 弦的および距離誘導的グラフに特有の木分解および頂点順序の性質に基づいて、線形時間アルゴリズムを設計する。
• 弦的グラフが長さ4以上の無弦サイクルを含まないこと、距離誘導的グラフが誘導パスの性質を満たすことを利用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトン性を有する3正則グラフで、正確に2つの次数2頂点を持つ場合、マッチング・デサイクル可能性はNP完全か？
• RQ2 弦的グラフにおけるマッチング・デサイクル可能性は、構造的グラフ性質の集合によって特徴付け可能か？
• RQ3 距離誘導的グラフにおけるマッチング・デサイクル可能性は線形時間で認識可能か？
• RQ4 弦的および距離誘導的グラフのどの構造的特徴が、マッチング・デサイクル可能性の効率的認識を可能にするか？
• RQ5 平面性および3正則性といった強い制約下でも、マッチング・デサイクル可能性のNP完全性は維持されるか？

主な発見

• ハミルトン性を有する3正則グラフで、正確に2つの次数2頂点を持つ場合、マッチング・デサイクル可能性はNP完全である。
• 弦的グラフは、そのクリークツリーおよび頂点順序に関連する特定の条件を満たす場合に限り、マッチング・デサイクル可能である。
• 距離誘導的グラフは、パビリオンおよびジョイント操作による分解に基づく構造的基準を満たす場合に限り、マッチング・デサイクル可能である。
• 弦的および距離誘導的グラフの両方について、マッチング・デサイクル可能性の線形時間認識アルゴリズムが存在する。
• 結果として、マッチング・デサイクル可能性は、より広いグラフクラスではNP完全であるものの、弦的および距離誘導的グラフでは扱いやすいことが示された。