[論文レビュー] Dedekind order completion of C(X) by Hausdorff continuous functions

Roumen Anguelov|ArXiv.org|Jul 15, 2004

Numerical Methods and Algorithms参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、位相空間 $X$ 上の連続実数値関数空間 $C(X)$ のデデキンド順序完備化を、有限のハウスドルフ連続区間値関数を用いて構成的特徴づける。$\mathbb{H}_{ft}(X)$ と表されるこのような関数の集合がデデキンド順序完備であり、$C(X)$ および $C_b(X)$ の順序完備化を含んでおり、完備性および距離空間の仮定の下で明示的な特徴づけがなされることを確立する。

ABSTRACT

The concept of Hausdorff continuous interval valued functions, developed within the theory of Hausdorff approximations and originaly defined for interval valued functions of one real variable is extended to interval valued functions defined on a topological space X. The main result is that the set of all finite Hausdorff continuous functions on any topological space X is Dedekind order complete. Hence it contains the Dedekind order completion of the set C(X) of all continuous real functions defined on X as well as the Dedekind order completion of the set C_b(X) of all bounded continuous functions on X. Under some general assumptions about the topological space X the Dedekind order completions of both C(X) and C_b(X) are characterised as subsets of the set of all Hausdorff continuous functions. This solves a long outstanding open problem about the Dedekind order completion of C(X). In addition, it has major applications to the regularity of solutions of large classes of nonlinear PDEs.

研究の動機と目的

• 同一空間 $X$ 上で定義された関数として、$C(X)$ のデデキンド順序完備化を構成するという、長年の未解決問題を解決すること。
• 1変数関数に限らない一般の位相空間へのハウスドルフ連続区間値関数の概念を拡張すること。
• ハウスドルフ連続関数の枠組みの中で、$C(X)$ および $C_b(X)$ のデデキンド順序完備化を特徴づけること。
• 従来の結果とは異なり有界性を要しない、構成的で関数論的な完備化の表現を提供すること。
• 非線形PDEの解の正則性を向上させることを可能にする。具体的には、解がハウスドルフ連続関数として表現可能であることを示すこと。

提案手法

• 位相空間 $X$ 上のすべての有限ハウスドルフ連続区間値関数の集合 $\mathbb{H}_{ft}(X)$ を定義し、1変数関数への概念の拡張を行う。
• 拡張実数区間 $\mathbb{I}\overline{\mathbb{R}}$ に点ごとの順序 $[\underline{a},\overline{a}] \leq [\underline{b},\overline{b}]$ を、$\underline{a} \leq \underline{b}$ かつ $\overline{a} \leq \overline{b}$ であるとき定義する。
• $\mathbb{A}(X)$、すなわち $X$ 上のすべての区間値関数の集合に点ごとの順序を誘導し、$C(X)$ および $C_b(X)$ をこの空間に埋め込む。
• $\mathbb{H}_{ft}(X)$ がデデキンド順序完備であることを証明する。すなわち、上に有界な任意の部分集合が上限を持ち、下に有界な任意の部分集合が下限を持つこと。
• 完全正則な $X$ に対して、$C_b(X)$ の順序完備化を $\mathbb{H}_b(X)$、すなわち有界ハウスドルフ連続関数の集合として特徴づける。
• 完全正則な $X$ に対して、$C(X)$ の順序完備化を $\mathbb{H}_{cm}(X)$、すなわち連続な上界および下界をもつハウスドルフ連続関数の集合として特徴づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界性を要しないで、$C(X)$ のデデキンド順序完備化を同一空間 $X$ 上の関数として構成可能か？
• RQ2 ハウスドルフ連続区間値関数は、$C(X)$ の順序完備化の表現において果たす役割は何か？
• RQ3 $C_b(X)$ の順序完備化と $C(X)$ の順序完備化の関数空間的構造は、どのように比較できるか？
• RQ4 どのような位相的条件下で $\mathbb{H}_{ft}(X)$ が $C(X)$ の順序完備化と一致するか？
• RQ5 ハウスドルフ連続関数は、従来の手法と比較して非線形PDEの解の正則性を向上させられるか？

主な発見

• 任意の位相空間 $X$ に対して、$X$ 上のすべての有限ハウスドルフ連続関数の集合 $\mathbb{H}_{ft}(X)$ はデデキンド順序完備である。
• 完全正則な位相空間 $X$ に対して、$C_b(X)$ のデデキンド順序完備化は、有界ハウスドルフ連続関数の集合 $\mathbb{H}_b(X)$ に同型である。
• 完全正則な位相空間 $X$ に対して、$C(X)$ のデデキンド順序完備化は、連続な上界および下界をもつハウスドルフ連続関数の集合 $\mathbb{H}_{cm}(X)$ に同型である。
• $X$ が距離空間であるとき、$C(X)^\# = \mathbb{H}_{ft}(X)$ が成り立ち、$C(X)$ の順序完備化がまさにすべての有限ハウスドルフ連続関数の集合に一致する。
• この結果により、正規上半連続関数によるDilworthの特徴づけとは異なり、有界性を要しない構成的代替案が得られる。
• この枠組みにより、非線形PDEの解の正則性を向上させることができ、解がハウスドルフ連続関数として表現可能であることが示され、例えば非粘性バーガース方程式におけるショック波解を含む。