[論文レビュー] Dedekind Zeta Functions and the Complexity of Hilbert's Nullstellensatz

J. Maurice Rojas|ArXiv.org|Jan 11, 2003

Analytic Number Theory Research参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、一般化されたリーマン予想（GRH）よりもより妥当性の高い2つの新しい数論的仮説、すなわち有効な短区間素イデアル定理（GIPIT）またはデデキンドゼータ関数の零点に関する高次モーメントの仮説（DZH）の下で、複素数体上のヒルベルトのアフィンゼロ定理（HN）がアーサー＝メリン複雑度クラスAMに属することを確立している。GRHに代えてこれらを用いることで、解析的数論と計算代数幾何学の間の関係を強化する。

ABSTRACT

Let HN denote the problem of determining whether a system of multivariate polynomials with integer coefficients has a complex root. It has long been known that HN in P implies P=NP and, thanks to recent work of Koiran, it is now known that the truth of the Generalized Riemann Hypothesis (GRH) yields the implication that HN not in NP implies P is not equal to NP. We show that the assumption of GRH in the latter implication can be replaced by either of two more plausible hypotheses from analytic number theory. The first is an effective short interval Prime Ideal Theorem with explicit dependence on the underlying field, while the second can be interpreted as a quantitative statement on the higher moments of the zeroes of Dedekind zeta functions. In particular, both assumptions can still hold even if GRH is false. We thus obtain a new application of Dedekind zero estimates to computational algebraic geometry. Along the way, we also apply recent explicit algebraic and analytic estimates, some due to Silberman and Sombra, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• ヒルベルトのアフィンゼロ定理の複雑度境界における一般化されたリーマン予想（GRH）への依存性を、より妥当性の高い数論的仮説に置き換えること。
• 整数係数多項式系が複素数解を持つかどうかを判定する問題HNが、GRHより弱い仮説の下でアーサー＝メリンクラスAMに属することを確立すること。
• 解析的数論、特に素イデアルの分布およびデデキンドゼータ関数の零点推定値と、計算代数幾何学とを直接結びつけること。
• 代数的および解析的数論からの明示的推定値を活用して、より良い複雑度境界を持つ、非グレブナー基底の新しいアルゴリズムを提供すること。
• 仮説GIPITおよびDZHがGRHが偽であっても成立しうることを示し、複雑度結果の適用範囲を広げること。

提案手法

• 与えられた多項式系Fに対して、その分解体を介して数体$K$を関連付け、複素数体上での可解性が$ \mathcal{O}_K$における素イデアルの分布に関連することを示す。
• ランダムサンプリング技術を用いて、複素数解の存在性の問題を小さな素数$p$を法とする解の存在性の問題に還元する。
• GIPIT（良い短区間素イデアル定理）およびDZH（デデキンド零点仮説）という2つの主要仮説を導入し、これらは望ましい素イデアルの分布およびデデキンドゼータ関数の零点の性質を定量的に表す。
• シルバーマンおよびゾンブラの結果を含む代数的数論からの明示的推定値を適用し、アルゴリズムにおけるパラメータ$t_F$および$C_F$の大きさを評価する。
• $ \mathcal{O}_K$における分岐していない1次素イデアルで、ノルムが$x$以下のものの個数を数える問題に帰着させる。関係式$\pi_K^1(x) \approx N_f(x)$（$p$を法とする線形因子の数）を用いる。
• 不等式$\pi_K(x+y) - \pi_K(x) \geq 1 + \frac{n_K\sqrt{x+y}}{2}$を用いて、十分な素イデアル密度を保証し、これはGIPITまたはDZHの下で保証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化されたリーマン予想（GRH）を仮定せずに、ヒルベルトのアフィンゼロ定理の複雑度がAMに属することを示せるか？
• RQ2 HNがAMに属することを保証するのに十分な、より弱い数論的仮説は何か？
• RQ3 素イデアルの分布およびデデキンドゼータ関数の零点に関する明示的推定値は、複素数体上での多項式系の可解性とどのように関係するか？
• RQ4 複素数解からmod-$p$解へのアルゴリズム的還元が、妥当な解析的数論の仮説の下で効果的かつ効率的に行えるか？
• RQ5 仮説GIPITおよびDZHがGRHが偽であっても成立しうるのか、したがってより頑健な代替フレームワークを提供するのか？

主な発見

• GIPITまたはDZHの下では、問題HNは複雑度クラスAMに属する。これは従来のGRHに基づく境界を改善する。
• 仮説DZHはGIPITを含み、GIPITは再びHN ∈ AMを含む。この含み関係の鎖は、主要な複雑度的結論を保持する。
• アルゴリズムにおけるパラメータ$t_F$および$C_F$は多項式時間で計算可能であり、ある絶対定数$\kappa > 0$に対して$\sigma(t_F), \sigma(C_F) = O(\sigma(F)^\kappa)$が成り立つ。これにより効率性が保証される。
• パラメータ$a_F$（$F$が複素数解を持たない場合に、$F$のmod $p$還元が解を持つような素数$p$の個数）について、$\sigma(a_F) = O(\sigma(F)^2)$は条件なしに成り立つ。
• アルゴリズムはグレブナー基底や結果式を避けており、複雑度が$\mathbf{AM}$である新たなルートを提供する。これは$\mathbf{P}^{\mathbf{NP}^{\mathbf{NP}}}$に含まれる。
• GIPITおよびDZHは、GRHが偽であっても成立しうるため、結果は複雑度理論においてより頑健で広範に適用可能である。