[論文レビュー] Deep factorisation of the stable process III: Radial excursion theory and the point of closest reach

Andreas E. Kyprianou, Víctor M. Hernández Rivero+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、d次元（d ≥ 2）の等方的安定過程のための新しい径方向の逸脱理論を構築し、原点への到達距離が最小となる点の正確な分布を確立するとともに、新たなn重のフラクチュエーション恒等式を導出する。元のマコフ加法過程（MAP）のランベルティ・キウ変換およびウィエンナー＝ホフ因子分解を用いて、径方向上限で反射された過程の定常分布を特定し、高次元における安定過程の完全なウィエンナー＝ホフ表現を提供する。

ABSTRACT

In this paper, we continue our understanding of the stable process from the perspective of the theory of self-similar Markov processes in the spirit of the recent papers of Kyprianou (2016) and Kyprianou et al. (2017). In particular, we turn our attention to the case of $d$-dimensional isotropic stable process, for $d\geq 2$. Using a completely new approach we consider the distribution of the point of closest reach. This leads us to a number of other substantial new results for this class of stable processes. We engage with a new radial excursion theory, never before used, from which we develop the classical Blumenthal-Getoor-Ray identities for first entry/exit into a ball, cf. Blumenthal et al. (1961), to the setting of $n$-tuple laws. We identify explicitly the stationary distribution of the stable process when reflected in its running radial supremum. Moreover, we provide a representation of the Wiener-Hopf factorisation of the MAP that underlies the stable process through the Lamperti-Kiu transform.

研究の動機と目的

• d次元等方的安定過程（d ≥ 2）の最近接到達点の正確な分布を確立すること。これは、幾何的フラクチュエーション特性の中心的側面である。
• 古典的なブルメンタール＝ゲトゥア＝レイ恒等式をn重法則へと拡張する、安定過程に特化した新しい径方向逸脱理論の構築。
• 進行中の径方向上限で反射された安定過程の定常分布の特定。
• 安定過程の背後にあるMAPのウィエンナー＝ホフ因子分解を、ランベルティ・キウ変換を用いて明示的に表現すること。
• 等方性と径方向スケーリングを用いて、1次元から高次元の等方的安定過程へのフラクチュエーション恒等式の一般化。

提案手法

• 径方向過程 |X_t| を e^{ξ_{φ(t)}} として表現するため、ハイパージェオメトリックLévy過程 ξ が明示的なウィエンナー＝ホフ因子分解を持つことを利用し、ランベルティ・キウ変換を用いる。
• 進行中の上限および下限に基づく、新たな径方向逸脱理論を適用し、球体からの初到達および離開時刻の分析を可能にする。
• Riesz–Bogdan–Żak変換を用いて、角成分Θを径方向過程と関連付け、等方性を活用して球対称性を活かす。
• 新しい径方向逸脱フレームワークとq↓0における弱収束を用いて、球体への初入射／離開時刻のn重法則を導出する。
• q↓0におけるqU^{(q),-}_xの収束を用いて、定常測度を特定し、それを単位球面上の表面測度に関連付ける。
• ポアソンポテンシャル公式と変数変換（w = Kz）を用いて、定常分布における正規化定数cを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元等方的安定過程の最近接到達点の正確な分布は何か？
• RQ2 径方向逸脱理論を用いて、古典的なブルメンタール＝ゲトゥア＝レイ恒等式をどのように高次元におけるn重法則へと拡張できるか？
• RQ3 径方向上限で反射された安定過程の定常分布は何か？
• RQ4 安定過程の文脈において、背後にあるMAPのウィエンナー＝ホフ因子分解をどのように明示的に表現できるか？
• RQ5 等方性は、t→∞におけるX_t / M_tの極限分布を導出する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 最近接到達点の分布は、新しい径方向逸脱理論により特徴付けられ、球体への初到達および離開に関する明示的なフラクチュエーション恒等式が得られる。
• 径方向上限で反射された過程の定常分布は、単位球内における密度 |1−|w|²|^{α/2}/|ϕ−w|^{d} に比例し、ガンマ関数を含む正規化定数を持つ。
• q↓0におけるqU^{(q),-}_xの極限における定数cは、c = 2^α Γ((d+α)/2)/Γ((d−α)/2) として特定され、定常測度が1に積分されることを保証する。
• t→∞におけるE_{Kx}[f(X_t / M_t)]の極限が、|1−|w|²|^{α/2}およびポアソン核を含む単位球上の積分に収束することを示し、定常分布が確認される。
• ハイパージェオメトリックLévy過程ξの特性指数を用いて、背後にあるMAPのウィエンナー＝ホフ因子分解が明示的に表現される。
• 定常分布が写像w ↦ K w = w/|w|²に関して不変であることが示され、安定過程の径方向構造におけるコンフォーマル不変性が反映される。