[論文レビュー] Deep Learning-Based BSDE Solver for Libor Market Model with Application to Bermudan Swaption Pricing and Hedging

Haojie Wang, Han Chen+3 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、リボレート・マーケット・モデル（LMM）下でのバミューディアン・スワプティオンの価格設定とヘッジ戦略を、高次元の前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）として定式化することで、バックワード深層ニューラルネットワーク（DNN）ソルバーを提案する。この手法は、GPU上で優れた速度とスケーラビリティを発揮し、従来のモンテカルロ法に比べて高次元設定において、正確な価格設定と直接的なギリシャ（例：デルタ）計算を実現する。

ABSTRACT

The Libor market model is a mainstay term structure model of interest rates for derivatives pricing, especially for Bermudan swaptions, and other exotic Libor callable derivatives. For numerical implementation the pricing of derivatives with Libor market models is mainly carried out with Monte Carlo simulation. The PDE grid approach is not particularly feasible due to Curse of Dimensionality. The standard Monte Carlo method for American/Bermudan swaption pricing more or less uses regression to estimate expected value as a linear combination of basis functions (Longstaff and Schwartz). However, Monte Carlo method only provides the lower bound for American option price. Another complexity is the computation of the sensitivities of the option, the so-called Greeks, which are fundamental for a trader's hedging activity. Recently, an alternative numerical method based on deep learning and backward stochastic differential equations appeared in quite a few researches. For European style options the feedforward deep neural networks (DNN) show not only feasibility but also efficiency to obtain both prices and numerical Greeks. In this paper, a new backward DNN solver is proposed for Bermudan swaptions. Our approach is representing financial pricing problems in the form of high dimensional stochastic optimal control problems, FBSDEs, or equivalent PDEs. We demonstrate that using backward DNN the high-dimension Bermudan swaption pricing and hedging can be solved effectively and efficiently. A comparison between Monte Carlo simulation and the new method for pricing vanilla interest rate options manifests the superior performance of the new method. We then use this method to calculate prices and Greeks of Bermudan swaptions as a prelude for other Libor callable derivatives.

研究の動機と目的

• 従来のPDEやモンテカルロ法が「次元の呪い」に直面する高次元のリボレート・マーケット・モデル下でのバミューディアン・スワプティオンの価格設定の課題に対処すること。
• アメリカン型オプションに対して下限値しか提供しない標準モンテカルロ法の制限を克服し、ギリシャ計算に複雑なパスワイズ回帰を必要としないこと。
• 回帰やパスシミュレーションに依存せずに、オプション価格と感応度（ギリシャ）を直接計算できるスケーラブルなディープラーニングフレームワークを開発すること。
• 金利デリバティブのヘッジ戦略において不可欠な、複数の基礎となるリボレートレートに対する効率的かつ正確なデルタ感応度の計算を可能にすること。
• ヨーロピアン・オプションをはるかに超える複雑な金融デリバティブ、特にコール可能型インストルメントとしてのバミューディアン・スワプティオンに対する、ディープラーニングベースのFBSDEソルバーの実現可能性と性能を示すこと。

提案手法

• バミューディアン・スワプティオン価格設定問題を、一般化されたフェインマン＝カースの定理を活用して高次元の前向き・後向き確率微分方程式（FBSDE）として定式化する。
• 初期時刻から満期までオプション価格を後退的に投影するバックワードDNNアーキテクチャを実装し、初期値推定の分散に基づく損失関数を用いる。
• 前向きDNNソルバーの並列構造を踏襲するが、後退的時間発展と早期行使意思決定に適応させた構造を採用する。
• LMM下でのリボレートレートのシミュレートパスを用いて、確率的勾配降下法でDNNを訓練し、損失関数として終端ペイオフの投影分散を最小化する。
• 基礎となるリボレートレートに対するネットワーク出力の勾配として、回帰やパスシミュレーションを別途行わず、ギリシャ（例：デルタ）を直接計算する。
• TensorFlowを介したGPUアクセラレーションにより、特に多くの行使日を有する長期満期スワプティオンにおいて高い計算効率を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 従来のPDEやモンテカルロ法が失敗する高次元のリボレート・マーケット・モデル下で、ディープラーニングベースのバックワードDNNソルバーは、バミューディアン・スワプティオンの価格設定を正確に行えるか？
• RQ2 長期満期スワプティオンにおいて、バックワードDNNソルバーの価格設定の正確性と計算速度は、標準モンテカルロシミュレーションと比べてどの程度優れているか？
• RQ3 DNNベースの手法は、追加の回帰やパスシミュレーションを経ずに、ギリシャ（例：デルタ）をどの程度直接に計算できるか。また、その結果は基準値と一致するか？
• RQ4 異なるリボレート満期に対するバミューディアン・スワプティオンのデルタ感応度にどのようなパターンが現れ、金融的直観と整合しているか？
• RQ5 バックワードDNNフレームワークは、コール可能CMSスプレッド・オプションやレンジ・アキュムレーションなど、他の複雑で高次元の金利デリバティブにも効果的にスケーリング可能か？

主な発見

• バックワードDNNソルバーは、QuantLibのモンテカルロシミュレーションと同等の価格設定精度を達成し、スワプティオン swptn_1 において、純現在価値（NPV）の最大差異が0.00161に留まる。
• 行使日が増加するスワプティオン（例：swptn_1 から swptn_19）では、1台のV100 GPU上での計算時間が3分から20分にわたり、優れたスケーラビリティを示している。
• DNNで計算されたデルタは明確な金融的直観を示している：後期満期のリボレートレート（例：$L_{29}$）に対するデルタは行使日が進むにつれて増加するが、初期満期のレート（例：$L_{10}$）は感応度が低下する。
• この手法は、残存行使機会数に依存するデルタの構造的依存関係を正しく捉えている — 例えば、swptn_19 において $\Delta(L_{10}) < \Delta(L_{11}) < \cdots < \Delta(L_{28})$ となる — 金融的整合性を裏付けている。
• バックワードDNNソルバーは、バックプロパゲーションによりギリシャを直接かつ効率的に計算でき、パスワイズや尤度比推定器などの追加数値手法の必要性を排除する。
• このフレームワークは非常にスケーラブルかつ汎用的であり、バミューディアン型金利デリバティブや株式、外国為替（FX）など、他の資産クラスへの応用が期待できる。