[論文レビュー] Deep learning neural networks for the third-order nonlinear Schrodinger equation: Solitons, breathers, and rogue waves

Zijian Zhou, Zhenya Yan|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2021

Advanced Fiber Laser Technologies参考文献 36被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、物理学に基づくニューラルネットワーク（PINNs）を用いて、第三階非線形シュレーディンガー方程式（ヒロタ方程式）のデータ駆動的解—ソリトン、ブレーター、レガラーウェーブ—を同定し、ノイズありおよびノイズなしのソリトンデータを用いて方程式内の未知パラメータを同定する。この手法は、2%のノイズが存在する状況でも、解再構築およびパラメータ同定の両面で高い精度を達成し、非線形波動モデルにおけるロバストネスと一般化性能を示している。

ABSTRACT

The third-order nonlinear Schrodinger equation (alias the Hirota equation) is investigated via deep leaning neural networks, which describes the strongly dispersive ion-acoustic wave in plasma and the wave propagation of ultrashort light pulses in optical fibers, as well as broader-banded waves on deep water. In this paper, we use the physics-informed neural networks (PINNs) deep learning method to explore the data-driven solutions (e.g., soliton, breather, and rogue waves) of the Hirota equation when the two types of the unperturbated and unperturbated (a 2% noise) training data are considered. Moreover, we use the PINNs deep learning to study the data-driven discovery of parameters appearing in the Hirota equation with the aid of solitons.

研究の動機と目的

• 第三階非線形シュレーディンガー方程式の複雑な非線形波動解（ソリトン、ブレーター、レガラーウェーブ）をデータ駆動的に同定するためのディープラーニングフレームワークの開発を目的とする。
• ヒロタ方程式のソリトン解を用いたノイズあり（2%ノイズ）の学習データからの解再構築において、物理学に基づくニューラルネットワーク（PINNs）のロバストネスを調査することを目的とする。
• ソリトン解を学習データとして用いることで、ヒロタ方程式内の未知の物理的パラメータ（分散および非線形係数など）のデータ駆動的同定を可能とすることを目的とする。
• PINN手法の妥当性を、摂動のないデータおよび摂動のあるデータの両方に対して検証し、L²ノルム誤差と収束速度を用いて精度を評価することを目的とする。

提案手法

• PINNフレームワークは、ヒロタ方程式の複素数値解 $ q(x,t) = u(x,t) + iv(x,t) $ を近似するための深層ニューラルネットワークを用いる。
• 損失関数は、初期条件および境界条件からのデータ適合性と、偏微分方程式（PDE）の残差最小化を組み合わせており、自動微分を用いて強制される。
• PDEの残差は $ F(x,t) = iq_t + \alpha(q_{xx} + 2|q|^2 q) + i\beta(q_{xxx} + 6|q|^2 q_x) $ として計算され、実部および虚部から $ F_u $ および $ F_v $ が導出される。
• ネットワークは、Adam（20,000ステップ）を用いて初期学習を行い、その後L-BFGS（50,000ステップ）を用いてPDEの残差および境界条件の平均二乗誤差を最小化するように訓練される。
• パラメータ同定のため、$ \alpha $, $ \beta $, $ \mu $, および $ \nu $ をトレーニング可能なパラメータとして扱い、未知係数を含むように損失関数を適合させる。
• 学習データには、正確なソリトン解および2%ノイズを含む摂動版が含まれており、空間的および時間的領域にわたってサンプリングされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 PINNsは、限られたデータまたはノイズのあるデータから、ヒロタ方程式のソリトン、ブレーター、レガラーウェーブ解を正確に再構築できるか？
• RQ2 学習データに2%のノイズが存在する場合、PINNによる解再構築の精度および収束性にどのような影響が生じるか？
• RQ3 PINNsは、ソリトン解のデータのみを用いて、ヒロタ方程式内の未知の物理的パラメータ（例：$ \alpha $, $ \beta $）を効果的に同定できるか？
• RQ4 異なるノイズレベル下で、PINNsが複素数場 $ q(x,t) $ 全体、およびその実部・虚部を再構築する際の相対的性能はいかがなっているか？

主な発見

• ノイズなしの正確なソリトン解に対して、PINN手法は相対的 $ \mathbb{L}^2 $-ノルム誤差 $ 7.0371 \times 10^{-4} $ を達成し、高い解の精度を示した。
• 2%のノイズが学習データに含まれる場合、相対的 $ \mathbb{L}^2 $-ノルム誤差は $ 9.4420 \times 10^{-4} $ に増加したが、これによりデータ摂動に対するロバストネスが示された。
• ノイズなし条件下での $ \alpha $ および $ \beta $ のパラメータ同定において、それぞれ $ 3.85 \times 10^{-5} $ および $ 7.48 \times 10^{-5} $ の誤差を達成した。
• 2%のノイズ下でも、$ \alpha $ および $ \beta $ のパラメータ同定誤差は $ 3.31 \times 10^{-4} $ および $ 2.89 \times 10^{-4} $ に留まり、データの汚染に対しても安定した性能を示した。
• 代替パラメータ化（$ \mu $ および $ \nu $）においては、ノイズなしで $ 3.69 \times 10^{-3} $ および $ 3.14 \times 10^{-2} $ の誤差を、2%ノイズ下では $ 1.84 \times 10^{-2} $ および $ 1.13 \times 10^{-1} $ の誤差を達成した。
• トレーニング時間は、ケースに応じて約1970～3570秒であり、50,000ステップのL-BFGSで収束が達成された。