[論文レビュー] Deep Learning of Delay-Compensated Backstepping for Reaction-Diffusion PDEs

Shanshan Wang, Mamadou Diagne+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2023

Stability and Controllability of Differential Equations被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、遅延補償付きバックステッピングゲインを定義する非線形演算子のカスケードを学習するためにDeepONetを拡張し、入力遅延を持つ反応-拡散偏微分方程式に対する近似閉ループ系の指数安定性を保証し、シミュレーションによる結果を示します。

ABSTRACT

Deep neural networks that approximate nonlinear function-to-function mappings, i.e., operators, which are called DeepONet, have been demonstrated in recent articles to be capable of encoding entire PDE control methodologies, such as backstepping, so that, for each new functional coefficient of a PDE plant, the backstepping gains are obtained through a simple function evaluation. These initial results have been limited to single PDEs from a given class, approximating the solutions of only single-PDE operators for the gain kernels. In this paper we expand this framework to the approximation of multiple (cascaded) nonlinear operators. Multiple operators arise in the control of PDE systems from distinct PDE classes, such as the system in this paper: a reaction-diffusion plant, which is a parabolic PDE, with input delay, which is a hyperbolic PDE. The DeepONet-approximated nonlinear operator is a cascade/composition of the operators defined by one hyperbolic PDE of the Goursat form and one parabolic PDE on a rectangle, both of which are bilinear in their input functions and not explicitly solvable. For the delay-compensated PDE backstepping controller, which employs the learned control operator, namely, the approximated gain kernel, we guarantee exponential stability in the $L^2$ norm of the plant state and the $H^1$ norm of the input delay state. Simulations illustrate the contributed theory.

研究の動機と目的

• ニューラルネットワークで演算子を学習することによってPDE制御ゲイン計算を迅速化する必要性を動機づける。
• DeepONetを拡張して、遅延補償付き制御系内で異なるPDEクラス（Goursatバックステッピングとパラボリック予測子）からのカスケード演算子を近似する。
• 近似制御器の理論的安定性保証を提供し、演算子近似境界によって精度を定量化する。
• 境界入力遅延を伴う反応-拡散PDEでアプローチを実証し、安定性と性能向上を示すシミュレーションを含む。

提案手法

• 境界遅延を持つ反応-拡散PDEに対する遅延補償付きバックステッピング設計を定式化し、2つのカーネルPDE（Goursatバックステッピングカーネルと予測子カーネル）のカスケードへ写像する。
• 2つの非線形演算子を定義する：K1: lambda -> k（Goursatカーネル）およびK2: (lambda, k(1,·)) -> gamma（反応-拡散カーネル）、gammaは予測子ゲインを提供する。
• DeepONetを用いて hat{K1} および hat{K2} を学習し、kとgammaを近似し、PDE解法の代わりに関数評価を通じて制御ゲイン関数を計算できるようにする。
• DeepONetで近似したカーネル（定理2）を用いる変換ターゲット系の指数安定性を証明し、ノルム同値性（命題1–2）を通じて元のプラントとの安定性を関連付ける。
• 近似制御器 U(t) = ∫ hat{gamma}(1,y) u(y,t) dy - D ∫ hat{gamma}_y(1-y,1) v(y,t) dy を実装し、近似誤差epsilonの下での安定性を示す（定理2）。
• 学習されたカーネルgammaとkが小さな相対誤差を満たし、閉ループ安定性を達成することを示すシミュレーション結果を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 深層ONetは混合型のハイパーボリック/パラボリックバックステッピング設計から生じるカーネルPDE演算子のカスケードを正確に近似できるか。
• RQ2 DeepONetベースの遅延補償付きバックステッピング制御は、演算子近似誤差がある場合でも指数安定性を維持するか。
• RQ3 安定性を保証するためのニューラル演算子の精度要件（epsilon）は何か、それが安定性定数にどう影響するか。
• RQ4 空間的に変動する反応性と境界入力遅延を持つ反応-拡散PDEに対して、学習済み制御器はシミュレーションでどのように機能するか。

主な発見

• 演算子関数がDeepONetで近似されるとき、遅延補償付き閉ループ系の指数安定化を定理2で証明。
• 変換ターゲット系の安定性と元のプラントの安定性をノルム同値性により結び付け、実用的安定性保証を確保（命題1–2）。
• kとgammaの2つのカーネルについて近似誤差が小さいことをDeepONetベースの学習で達成し、相対誤差およびテスト誤差を報告（例：k: 2.44×10^-4、gamma: 1.01×10^-3）。
• 学習されたカーネルであるgammaとkに対して、再活動性λ(x)が空間的に変化するパラメータの場合でも閉ループ安定性を示すシミュレーション結果を報告。有限差分法に比べて計算速度が大幅に向上する（約10^3倍）。
• データセットサイズが精度に与える影響を示すトレーニングデータ実験。サイズ500、1000、2000のデータセットで平均相対誤差と計算時間を報告する表を含む。
• 本研究は、ハイパーボリックとパラボリックという異なるPDEクラス由来の演算子の組み合わせを含む、より複雑な設定へDeepONetバックステッピングの結果を拡張している。