[論文レビュー] Deep Neural Network Framework Based on Backward Stochastic Differential Equations for Pricing and Hedging American Options in High Dimensions

Yangang Chen, Justin W. L. Wan|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、高次元におけるアメリカン・オプションの価格設定とヘッジに、後向き確率微分方程式（BSDE）に基づく深層ニューラルネットワークフレームワークを提案する。タイムステップ間の価格差を学習する一連のニューラルネットワークを訓練し、BSDEの残差を損失関数として最小化することで、次元に比例して2乗のスケーリングを示す正確な時空価格およびデルタを計算する。20次元を超える領域では、Longstaff-Schwartz法に比して優れた性能を発揮する。

ABSTRACT

We propose a deep neural network framework for computing prices and deltas of American options in high dimensions. The architecture of the framework is a sequence of neural networks, where each network learns the difference of the price functions between adjacent timesteps. We introduce the least squares residual of the associated backward stochastic differential equation as the loss function. Our proposed framework yields prices and deltas on the entire spacetime, not only at a given point. The computational cost of the proposed approach is quadratic in dimension, which addresses the curse of dimensionality issue that state-of-the-art approaches suffer. Our numerical simulations demonstrate these contributions, and show that the proposed neural network framework outperforms state-of-the-art approaches in high dimensions.

研究の動機と目的

• アメリカン・オプションの価格設定における次元の呪いに取り組むこと、特に基礎資産の数が3を超える場合に焦点を当てる。
• 単一の時刻におけるオプション価格だけでなく、完全なデルタヘッジを可能にするために、時空全域における価格およびデルタを計算すること。
• 回帰に基づく手法（例：Longstaff-Schwartz）の限界を克服すること。これらの手法は高次元において計算コストが高く、スケーラビリティに欠ける。
• アメリカン・オプションのドメイン固有の知識（ペイオフの滑らかさ、特徴工学）を活用するニューラルネットワークアーキテクチャを開発すること。
• 次元dに対して2乗のスケーリングを達成し、従来の手法が失敗する200次元まで解を得られるようにすること。

提案手法

• フレームワークは、N個の順伝播型ニューラルネットワークの系列を用い、各ネットワークが連続するタイムステップ間の価値関数の差を学習する。
• 損失関数は、関連する後向き確率微分方程式（BSDE）の最小二乗残差であり、オプション価格とデルタを1つの式に結合する。
• 特徴量には、現在の株価、満期のペイオフ、および直前のタイムステップからの継続価値が含まれ、モデルの精度を向上させる。
• ネットワークアーキテクチャは再帰的に定義されているが、再帰ニューラルネットワーク（RNN）とは異なり、効率的なトレーニングと一般化を保証する。
• 重みの再利用、アンサンブル学習、再定義されたトレーニング入力（例：v）などの技術を適用して、安定性とパフォーマンスを向上させる。
• 本手法は、t=0でのみではなく、時空全域における価格およびデルタを出力するため、完全な動的ヘッジが可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BSDEの残差最小化に基づくディープラーニングフレームワークは、高次元において正確なアメリカン・オプションの価格設定およびデルタ計算を達成できるか？
• RQ2 基礎資産数が20を超える場合、提案されたアーキテクチャはLongstaff-Schwartz法に比して精度および計算効率で優れているか？
• RQ3 本フレームワークは、孤立した点ではなく、時空全域における価格およびデルタを計算できるか？これにより完全なデルタヘッジが可能になるか？
• RQ4 本手法の計算コストは次元dに対してどのようにスケーリングされるか？また、次元の呪いを緩和できるか？
• RQ5 オプション行使境界の精度および相対的P&L分布は、有限差分法およびLongstaff-Schwartz法と比較してどの程度か？

主な発見

• 提案手法は、時空価格およびデルタを高い精度で計算し、2次元および5次元のケースにおいて、有限差分法とほぼ同一の相対的P&L分布を達成した。
• 200次元のマックス・コール・オプションにおいて、平均相対的P&Lは0.0016、標準偏差は0.0614を記録し、精度およびスケーラビリティの面でLongstaff-Schwartz法を上回った。
• 行使境界のf1スコアは約0.94であり、Longstaff-Schwartz法の約0.76よりも顕著に高く、境界検出性能が優れていることを示している。
• 本手法の計算コストは次元dに対して2乗スケーリングを示し、200次元まで解を得られるが、Longstaff-Schwartz法はメモリおよびコスト制約により失敗する。
• 5次元のマックス・コール・オプションにおいて、計算された価格（例：ストライク90で16.8896）はLongstaff-Schwartz法の16.76よりわずかに高いが、これはLongstaff-Schwartz法が低バイアスであることを示唆している。
• 本フレームワークは全次元において正確なデルタを生成し、ストライク110における値（0.2157, 0.2198, 0.2190, 0.2149, 0.2202）は、信頼性の高いヘッジ信号を示している。