[論文レビュー] Deep-water gravity waves: nonlinear theory of wave groups

I. M. Mindlin|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Ocean Waves and Remote Sensing参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、自由表面を半円に変換することで、非線形理論を用いて深海の重力波群を提示する。これにより離散三角級数解が可能となり、整数でインデックス付けされた完全な波パケット集合が得られ、それぞれが独立に異なる位相速度と位相速度で発展する。線形理論の小振幅極限および漸近的挙動における非線形シュレーディンガー方程式解と整合性を示し、有限エネルギーを保ちながらソリトン仮定を避けている。

ABSTRACT

Nonlinear initial-boundary value problem on deep-water gravity waves of finite amplitude is solved approximately (up to small terms of higher order) assuming that the waves are generated by an initial disturbance to the water and the horizontal dimensions of the initially disturbed body of the water are much larger than the magnitude of the free surface displacement. A numerable set of specific free surface waves is obtained in closed form and it is shown that free surface waves produced by an arbitrary initial disturbance to the water is a combination (not superposition: the waves are nonlinear) of the specific waves. A set of dispersive wave packets is found with one-to-one correspondence between the packets and positive integers, say, packet numbers, such that any initial free surface displacement gradually disintegrates into a number (limited or unlimited, depending on initial conditions) of the wave packets. The greater the packet number, the shorter the wavelength of the packet's carrier wave component, the slower the packet travels, the slower the packet disperses; evolution of any of the packets is not influenced by evolution of any other one. It is found that in case of infinitesimal wave amplitude the present theory is in agreement with linear wave theory. On the other hand, the behaviour of wave packets of large numbers and asymptotic behaviour of solutions of Schrödinger equation for weakly nonlinear waves are found to be similar, except for dispersion The theory is tested against experiments performed in a water tank.

研究の動機と目的

• 有限の初期摂動によって生成される深海の重力波に対する非線形初期境界値理論の構築。
• エンvelope soliton 仮定を避け、有限エネルギーを保つことによって非線形シュレーディンガー方程式の手法の限界を克服すること。
• 任意の初期表面変位の分解を記述する完全で可算な波パケット集合の構築。
• 有限エネルギーおよび無限遠方での消滅を要求することで、物理的に整合性のある解を保証すること。
• 実験データとの整合性を検証し、線形理論および弱非線形波挙動と一致することを示すこと。

提案手法

• 非線形座標変換により自由表面の痕跡を半円に変換し、連続的フーリエ変換の代わりに離散的調和解析を可能にする。
• 初期摂動の水平スケールが垂直変位よりもはるかに大きいと仮定し、小パrameter展開を可能にする。
• 初期条件および解の成分をマップされた領域上で収束する三角級数に展開する。
• 小パrameter（水平スケールと垂直スケールの比）の次数ごとに方程式を解き、高次項のうち小さいものを無視する。
• ラゲルの多項式および積分変換を用いて、係数の時間発展に対する厳密解を導出する。
• 有限エネルギーおよび無限遠方での消滅を要求する境界条件を適用し、これにより解が離散的波パケット集合に制限される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 波包の包絡線やソリトンを仮定せず、任意の初期摂動からの深海重力波を基本的な波成分に分解する方法は何か？
• RQ2 エネルギーが有限で解が無限遠方で消える場合、分散性と非線形性が波群の長時間的挙動に果たす役割は何か？
• RQ3 提案された離散的波パケットモデルは、線形波理論および弱非線形シュレーディンガー方程式解とどのように比較できるか？
• RQ4 初期波パケットが複数の独立した波パケットに分解される現象を、正の整数との1対1対応を保ちながら解析的に記述できるか？
• RQ5 一次近似解が、有界誤差で完全な非線形問題を近似する条件は何か？

主な発見

• 正の整数でインデックス付けされた完全で可算な波パケット集合が導出され、パケット番号と波長、群速度などの物理的性質との1対1対応が成立する。
• 波パケットは互いに独立に発展する。1つのパケットの進化は他のパケットに影響せず、時間経過に伴い形状と速度を維持する。
• パケット番号が大きい場合、波パケットの漸近的挙動は非線形シュレーディンガー方程式の解と類似するが、分散性の違いを除いては一致する。
• 波の振幅が無限小に近づく極限では、理論は線形波理論に還元され、既存の結果と整合性が確認される。
• モデルは実験観測と整合する波群挙動を予測しており、パルスの伝播時間（例：約27.5秒）および長さ（例：2.5 Hzパケットで約3.1 m）の推定値とも一致する。
• 高次近似においても、強制項の構造が余弦級数で表現され、係数が和分可能であるため、解は有界のままであり、小パrameterに対して妥当な近似を保つ。