[論文レビュー] Default Bayesian analysis for multi-way tables: a data-augmentation approach

Nicholas G. Polson, James G. Scott|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2011

Statistical Methods and Bayesian Inference参考文献 32被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、多項度連関表における効率的で正確なベイズ推論を可能にするデータ拡張手法を提案する。この手法は、数値積分やMCMCを回避する。正則化推定が柔軟に可能であり、lasso やブリッジ罰則のベイズ版に相当する事前分布を用いる。また、ロジスティック-Zモデルに基づくデフォルトの非情報的事前分布を提供する。

ABSTRACT

This paper proposes a strategy for regularized estimation in multi-way contingency tables, which are common in meta-analyses and multi-center clinical trials. Our approach is based on data augmentation, and appeals heavily to a novel class of Polya-Gamma distributions. Our main contributions are to build up the relevant distributional theory and to demonstrate three useful features of this data-augmentation scheme. First, it leads to simple EM and Gibbs-sampling algorithms for posterior inference, circumventing the need for analytic approximations, numerical integration, Metropolis--Hastings, or variational methods. Second, it allows modelers much more flexibility when choosing priors, which have traditionally come from the Dirichlet or logistic-normal family. For example, our approach allows users to incorporate Bayesian analogues of classical penalized-likelihood techniques (e.g. the lasso or bridge) in computing regularized estimates for log-odds ratios. Finally, our data-augmentation scheme naturally suggests a default strategy for prior selection based on the logistic-Z model, which is strongly related to Jeffreys' prior for a binomial proportion. To illustrate the method we focus primarily on the particular case of a meta-analysis/multi-center study (or a JxKxN table). But the general approach encompasses many other common situations, of which we will provide examples.

研究の動機と目的

• メタアナリシスや多施設臨床試験で一般的な多項度連関表に対して、計算が効率的で正確なベイズ的手法を開発すること。
• 多項度連関表におけるロジスティック尤度の非共役性および非線形性を、新たなデータ拡張スキームによって克服すること。
• lasso やブリッジなどの古典的罰則化尤度法のベイズ版に相当する、柔軟な事前分布の指定を可能にすること。
• ロジスティック-Zモデルに基づく、ロジスティック比のデフォルトの非情報的事前分布を確立すること。これはジェフリーズの事前分布と密接に関連している。
• スパースなセル数を有する実世界の多施設臨床試験データに応用することで、本手法の実用的有用性を示すこと。

提案手法

• コアとなる手法は、ポリア–ガウス分布に従う潜在変数を用いたロジスティック尤度の正規混合表現に基づく。これにより共役更新が可能になる。
• 連関表の各セルに、1つのポリア–ガウス分布に従う潜在変数を追加することで、事後分布の計算が簡素化される。
• ポリア–ガウス分布は、ファイシャーのZ分布のレヴィ表現を用いて導出され、正確なモーメント母関数の計算が可能になる。
• 非共役なロジスティックモデルを条件付き共役なガウスモデルに変換することで、効率的なギブスサンプリングおよびEMアルゴリズムの実行が可能になる。
• この枠組みは階層モデルへ一般化可能であり、スパースな表における階層的縮小およびロバスト推定を可能にする。
• ロジスティック-Zモデルに基づくデフォルト事前分布が提案され、これは二項分布の割合に対するジェフリーズに類似した事前分布に対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数値積分やMCMCに依存せずに、多項度連関表における正確なベイズ推論を可能にするデータ拡張スキームを開発できるか？
• RQ2 潜在変数表現を用いて、多項度連関表におけるロジスティック尤度の非共役性をどのように克服できるか？
• RQ3 本手法は、ロジスティック比の推定に、lasso やブリッジ罰則のベイズ版に相当する柔軟で正則化可能な事前分布をサポートできるか？
• RQ4 ロジスティック比のためのデフォルト事前分布として、客観的かつ計算的に実行可能であり、ジェフリーズの事前分布とどのように関連するか？
• RQ5 本手法は、セル数がスパースな実世界の多施設臨床試験データ（例：コントロール群で成功件数がゼロのケース）において、実際の性能をどのように発揮するか？

主な発見

• データ拡張スキームにより、メトロポリス–ハスティングス法や変分近似を用いずに、単純なギブス法およびEMアルゴリズムによる正確な事後分布計算が可能になる。
• 本手法により、ディリクレ分布やロジスティック正規分布以外の事前分布、特にlasso やブリッジに類似した罰則化尤度に基づく事前分布を用いた、ロジスティック比の正則化推定が可能になる。
• ポリア–ガウス分布は、1セルあたり1つの潜在変数で十分なため、計算複雑度が著しく低減される。
• ロジスティック-Zモデルに基づくデフォルト事前分布は、二項分布の割合に対するジェフリーズの事前分布と密接に関連しており、客観的ベイズ推論を支持する。
• 本手法は、スパースなセル（例：コントロール群で成功件数がゼロのケース）における推定値を正則化し、多施設研究における推定安定性を向上させる。
• 実データへの応用（表1）により、最尤推定値と比較して、より良い縮小効果と、治療効果のより精密な推定が得られた。