[論文レビュー] Default times, non arbitrage conditions and change of probability measures

Délia Coculescu, Monique Jeanblanc+1 more|ArXiv.org|Dec 21, 2008

Credit Risk and Financial Regulations参考文献 27被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、非アービトラージ条件を用いて、デフォルト時間モデルにおける$(H)$仮説の金融的妥当性を提示し、同等確率測度の変更の下で浸漬性（immersion）性がどのように保たれたり変化したりするかを分析する。著者は、Radon-Nikodým導関数が$\mathcal{F}_\infty$-可測である場合、浸漬性が保たれることを確立し、一般の同等測度の下でのAzémaの下確率過程の明示的乗法的分解を導出することで、JeulinとYorの結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper we give a financial justification, based on non arbitrage conditions, of the $(H)$ hypothesis in default time modelling. We also show how the $(H)$ hypothesis is affected by an equivalent change of probability measure. The main technique used here is the theory of progressive enlargements of filtrations.

研究の動機と目的

• 非アービトラージ条件を用いて、経済的根拠に基づきデフォルト時間モデルにおける$(H)$仮説（浸漬性）を正当化すること。
• 特に情報が不完全な不完全市場における、同等確率測度の変更の下での浸漬性の挙動を調査すること。
• JeulinとYorが示した測度変更下での浸漬性の保存に関する古典的結果を、より広いクラスの同等測度へと拡張すること。
• 一般の同等測度の下でのAzémaの下確率過程に対する明示的公式を提供し、デフォルト強度の実用的計算を可能にすること。
• 物理測度およびリスク中立的測度の両方の下で、マルティンゲール技法と進行的拡大理論を統合し、信用リスクモデリングを統一的に扱うこと。

提案手法

• デフォルト時刻を$\mathbb{F}$-停止時刻を避ける確率的時刻としてモデル化するため、フィルトレーションの進行的拡大理論を用いる。
• Girsanovの定理とマルティンゲール表現定理を適用し、浸漬性を保つ測度変更を特徴付ける。
• 測度$\mathbf{Q}$下での$\mathbf{Q}$-Azémaの下確率過程の乗法的分解を導出：$ Z^\mathbf{Q}_t = \mathcal{E}(\int (\tilde{F}_s - {}^{(\mathbf{Q},p)}F_s) d\tilde{m}_s)_t \cdot e^{-\int_0^t (1+H_s) d\Gamma_s} $。
• $\mathbb{G}$-マルティンゲールの一般表現を、$\mathbb{F}$下の直交局所マルティンゲールとデフォルト過程$N_t = \mathbf{1}_{\{\tau \leq t\}} - \Lambda_{t \wedge \tau}$を用いて導入する。
• $\mathbb{F}$-マルティンゲールを$\mathbf{Q}$下に変換するために、予測可能射影$^{(p,\mathbf{Q})}F$と過程$\widetilde{m}_t = m_t - \int_0^t \frac{d[m,e]_s}{e_{s-}}$を用いる。
• もし$E_t = \mathcal{E}(\int F_s dm_s)_t$が一様可積分な$\mathbb{G}$-マルティンゲールであり、$H$が$\mathbb{F}$-予測可能であれば、$\mathbf{Q}$下で$Z^\mathbf{Q}_t = e^{-\int_0^t (1+H_s) d\Lambda_s}$が成り立つことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デフォルトリスクモデルにおいて、同等確率測度の変更の下で浸漬性が保たれる条件は何か？
• RQ2 デフォルト時刻が$\mathbb{F}$-停止時刻を避ける場合、一般の同等測度の下でAzémaの下確率過程をどのように明示的に計算できるか？
• RQ3 Radon-Nikodým導関数の$\mathcal{F}_\infty$-可測性が浸漬性の保存に果たす役割は何か？
• RQ4 リスク中立的でない測度変更に対しても浸漬性を保てるか？その十分条件は何か？
• RQ5 進行的拡大枠組みにおいて、一般の同等測度の下でデフォルト強度と生存確率はどのように変化するか？

主な発見

• Radon-Nikodým導関数が$\mathcal{F}_\infty$-可測である場合、浸漬性は同等測度変更のもとで保たれる。これはJeulinとYorの結果を拡張するものである。
• 非アービトラージの十分条件として、リスク中立的測度でなくても、測度の下で浸漬性が成り立つことが十分である。
• $\mathbf{Q}$-Azémaの下確率過程は乗法的分解$ Z^\mathbf{Q}_t = \mathcal{E}(\int (\tilde{F}_s - {}^{(\mathbf{Q},p)}F_s) d\tilde{m}_s)_t \cdot e^{-\int_0^t (1+H_s) d\Gamma_s} $を有する。ここで$\widetilde{m}$は$\mathbf{Q}$下の$\mathbb{F}$-マルティンゲールである。
• もし$F$が$\mathbb{F}$-予測可能で$H=0$であれば、$Z^\mathbf{Q}_t = e^{-\int_0^t d\Lambda_s} = e^{-\int_0^t \lambda_s ds}$となり、$\mathbf{Q}$下でデフォルト強度が一定に保たれることを示す。
• 過程$N^\mathbf{Q}_t = \mathbf{1}_{\{\tau \leq t\}} - \int_0^{t \wedge \tau} (1+H_s) d\Lambda_s$は$\mathbf{Q}$下の$\mathbb{G}$-マルティンゲールであり、これにより$\mathbf{Q}$下で浸漬性が保証される。
• 従来の結果を一般化し、密度関数が$\mathcal{F}_\infty$-可測であり、マルティンゲール表現条件を満たす限り、広いクラスの同等測度においても浸漬性が保たれることを示した。