[論文レビュー] Defect measures on graded lie groups

Véronique Fischer, Clotilde Fermanian Kammerer|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、表現論に適合した擬微分計算を構築することで、階数付き冪零リー群への微局所欠損測度（MDMs）の一般化を提示する。0-同次記号のための $C^*$-代数枠組みを確立し、欠損測度による二次形式の収束を示し、非ユークリッド的設定における補間コンパクトネスおよびdiv-curl結果を拡張し、振動および集中列への応用を含む。

ABSTRACT

In this article, we define a generalisation of microlocal defect measures (also known as H-measures) to the setting of graded nilpotent Lie groups. This requires to develop the notions of homogeneous symbols and classical pseudo-differential calculus adapted to this setting and defined via the representations of the groups. Our method relies on the study of the C *-algebra of 0-homogeneous symbols. Then, we compute microlocal defect measures for concentrating and oscillating sequences, which also requires to investigate the notion of oscillating sequences in graded Lie groups. Finally, we discuss compacity compactness approaches in the context of graded nilpotent Lie groups.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間から階数付き冪零リー群の設定へ微局所欠損測度（MDMs）の理論を拡張すること。
• ユニタリ表現と同次記号を用いて、これらの群上での古典的擬微分計算を構築すること。
• 有界列に対する二次形式の弱極限を欠損測度を用いて特徴付けること、特に振動および集中列を対象とすること。
• 欠損測度と補間コンパクトネスの間の関係を、特に部分リーマン的および分層リー群の文脈で確立すること、div-curl補題を含む。

提案手法

• ユニタリ双対 $\widehat{G}$ 上での逆フーリエ変換を用いて、階数付きリー群上に擬微分計算を構築し、記号を $G \times \widehat{G}$ 上の作用素値場として定義する。
• 同次記号クラス $\dot{S}^m$ および古典的計算 $\Psi^m_{\text{cl}}(\Omega)$ を漸近展開と主記号を用いて定義する。
• $0$-同次正則記号の $C^*$-代数 $C^*(\widetilde{S}^0)$ を導入し、そのスペクトルと状態を分析して欠損測度を記述する。
• ゲルファンド＝ナイマーク＝セーガール構成を用いて、$C^*$-代数上の状態をベクトル状態として表現し、弱-*極限を介して欠損測度を特定する。
• 空間的集中または振動を示す関数列に対して、$C^*$-代数上の関連状態を分析することで、理論を適用する。
• 問題をより大きな作用素枠組みに埋め込み、行列値記号に対するcurl性質を検証することで、分層リー群上に新たなdiv-curl補題を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微局所欠損測度は、階数付き冪零リー群という非ユークリッド的設定へどのように一般化可能か？
• RQ2 階数付きリー群上で、同次記号と主記号の定義を支える適切な擬微分計算は何か？
• RQ3 振動および集中列は、階数付きリー群上の $L^2$ でどのように振る舞い、それらの微局所的挙動は欠損測度によってどのように捉えられるか？
• RQ4 この欠損測度枠組みを用いて、補間コンパクトネスの原理およびdiv-curl補題を部分リーマン的リー群へ拡張可能か？

主な発見

• 本稿では、$C^*$-代数的手法と作用素値記号を用いて、階数付き冪零リー群上での微局所欠損測度の明確な理論を確立した。
• 有界列 $\{u_k\} \subset L^2_{\text{loc}}(\Omega)$ に対して、二次形式 $\langle A(u_k - u), u_k - u \rangle$ の弱極限が、$\Omega \times \widehat{G}$ 上の正の欠損測度 $\gamma$ による積分として特徴付けられることを証明した。
• 欠損測度は、空間的集中とユニタリ表現に起因する振動の両方を捉えており、後者は $0$-同次記号の $C^*$-代数上の状態の弱-*極限と関連している。
• 分層リー群上に新たなdiv-curl補題を証明した：$\text{div}(V_k) \to \text{div}(V)$ が $L^2_{-1}(\Omega,\text{loc})$ で、かつ $\text{Op}(\rho)W_k \to \text{Op}(\rho)W$ が $L^2_{-m}(G,\text{loc})$ で成り立つならば、$\langle V_k, W_k \rangle \to \langle V, W \rangle$ が分布の意味で成り立つ、ただし $\rho$ がcurl性質を満たすものとする。
• 証明は、ベクトル場をより大きな作用素枠組みに埋め込み、$C^*$-代数上の状態に関するコンパクトネス結果を適用する。矛盾は、状態関数への負の下界の存在から生じる。
• 理論はヘイゼンベルク群およびカーノー群の既知の結果と整合しており、$L^2$ におけるコンパクトネスの欠如をリー群上の微局所解析によって統一的に分析する枠組みを提供する。