[論文レビュー] Defect of an extension, key polynomials and local uniformization

Jean-Christophe San Saturnino|arXiv (Cornell University)|Dec 24, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、付値体の有限単純拡大における欠陥が、その完全なキーポリノミアル集合の有効次数の積に等しいことを確立し、欠陥とキーポリノミアル理論との間の明確な代数的関係を提示する。主な貢献は、連続的欠陥性の仮定の下で、等特徴的準最適局域環上のランク1付値に対して局所均一化定理を示したことであり、これにより先行研究を一般化するとともに、特徴が零の状況における局所均一化を再証明する。

ABSTRACT

For all simple and finite extension of a valued field, we prove that its defect is the product of the effective degrees of the complete set of key polynomials associated. As a consequence, we obtain a local uniformization theorem for valuations of rank 1 centered on an equicharacteristic quasi-excellent local domain satisfying some inductive assumptions of lack of defect.

研究の動機と目的

• 付値体の拡大における欠陥とその付値に関連するキーポリノミアルとの明確な関係を解明すること。
• 商体における帰納的欠陥性の仮定を導入することで、以前の局所均一化結果を一般化すること。
• キーポリノミアルと有効次数を用いて、特徴が零の状況における局所均一化を再証明すること。
• 拡大における極限キーポリノミアルの有効次数の積として、欠陥が乗法的であることを確立すること。
• 有効次数を用いて付値に関連する順序付き代数の構造的特徴を特定すること。

提案手法

• 不等式 [L:K] ≤ [Γμ:Γν][kμ:kν] における乗法的要因として拡大の欠陥を定義し、これが残渣的特徴のべきであることを示す。
• 文献[3]および[9]におけるキーポリノミアルの枠組みを用い、特に完全集合および1-完全集合の概念を採用する。
• 多項式 P とキーポリノミアル Q に対して、P の標準展開において係数の付値が最大となる項における Q の最高べきを、P に対する Q の有効次数と定義する。
• 付値に関連する順序付き代数が有効次数に関してユークリッド的であり、有効次数の列が非増加的かつ最終的に定数に収束することを証明する。
• ノイマン多角形の理論と W. Mahboub のキーポリノミアルを用いて、欠陥が極限キーポリノミアルの有効次数の積に等しいことを示す。
• 次元に関する帰納法と商体の欠陥性を用いて、等特徴的準最適局域環上のランク1付値に対して局所均一化定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 付値体の有限単純拡大における欠陥は、その付値に関連するキーポリノミアルとどのように関係しているか？
• RQ2 極限キーポリノミアルが存在する状況において、欠陥がキーポリノミアルの有効次数の積として表現可能か？
• RQ3 準最適局域環上のランク1付値が、どのような条件下で局所均一化を許容するか？
• RQ4 有効次数は、付値に関連する順序付き代数の構造を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 極限キーポリノミアルが存在しないことは、拡大における欠陥性を意味するか？逆に、欠陥性が成立するならば極限キーポリノミアルは存在しないのか？

主な発見

• 付値体の有限単純拡大における欠陥は、完全なキーポリノミアル集合に含まれる極限キーポリノミアルの有効次数の積に等しい。
• 残渣体が特徴が零のとき、欠陥は自明であり、局所均一化定理が成り立つ。これはザリスキの古典的結果を回復する。
• 局所環の完備化の商体が欠陥的であるとき、かつ低次元で局所均一化性が成り立つならば、付値は埋め込まれた局所均一化を許容する。
• キーポリノミアルに関する多項式の有効次数は、明確に定義されており、関連する順序付き代数の構造を支配する。
• 有効次数の列は非増加的であり、最終的に定数値に収束する。この値が 0 または 1 であるならば、キーポリノミアル集合は 1-完全である。
• 等特徴的準最適局域環上のランク1付値に対して、連続的完備化の商体における帰納的欠陥性の仮定の下で、局所均一化が成り立つ。