[論文レビュー] Defective and Clustered Colouring of Sparse Graphs

Kevin Hendrey, David R. Wood|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、最大平均次数（MAD）制約を活用することで、スパースグラフにおける欠損リスト彩色およびクラスタリングに関する改善された境界を確立している。MADが (2d+2)/(d+2)k より小さいグラフは、欠損dでk-choosableであることが証明され、d=1の場合、クラスタリング2に対してタイトな (3/4)m+1 の境界が得られ、先行研究を拡張し、地球-月グラフに関する未解決問題を解決している。

ABSTRACT

An (improper) graph colouring has $d$ if each monochromatic subgraph has maximum degree at most $d$, and has $c$ if each monochromatic component has at most $c$ vertices. This paper studies defective and clustered list-colourings for graphs with given maximum average degree. We prove that every graph with maximum average degree less than $\frac{2d+2}{d+2} k$ is $k$-choosable with defect $d$. This improves upon a similar result by Havet and Sereni [J. Graph Theory, 2006]. For clustered choosability of graphs with maximum average degree $m$, no $(1-\epsilon)m$ bound on the number of colours was previously known. The above result with $d=1$ solves this problem. It implies that every graph with maximum average degree $m$ is $\lfloor{\frac{3}{4}m+1} floor$-choosable with clustering 2. This extends a result of Kopreski and Yu [Discrete Math., 2017] to the setting of choosability. We then prove two results about clustered choosability that explore the trade-off between the number of colours and the clustering. In particular, we prove that every graph with maximum average degree $m$ is $\lfloor{\frac{7}{10}m+1} floor$-choosable with clustering $9$, and is $\lfloor{\frac{2}{3}m+1} floor$-choosable with clustering $O(m)$. As an example, the later result implies that every biplanar graph is 8-choosable with bounded clustering. This is the best known result for the clustered version of the earth-moon problem. The results extend to the setting where we only consider the maximum average degree of subgraphs with at least some number of vertices. Several applications are presented.

研究の動機と目的

• 最大平均次数が有界なグラフにおける欠損およびクラスタリング付きリスト彩色の既存の境界を改善すること。
• クラスタリング2におけるクラスタリング付きチョイスラビリティに必要な色数の (1−ε)m 界を確立し、スパースグラフ彩色における未解決問題を解決すること。
• スパースグラフにおける色数とクラスタリングサイズのトレードオフを調査すること。
• 最小頂点数制約を満たす部分グラフにまで結果を拡張し、現実のスパース構造への適用可能性を高めること。

提案手法

• 最大平均次数（MAD）を用いたグラフ構造の分析により、欠損d付きのチョイスラビリティ境界を導出する。
• 放電法と構造的分解を適用し、単色成分のサイズを制御する。
• k-choosability with defect d に対するMADの一般上界として (2d+2)/(d+2)k を確立する。
• d=1の場合、この境界がクラスタリング2に対して (3/4)m+1 色をもたらすことを証明し、先行研究を改善する。
• 少なくともt個の頂点を持つ部分グラフを扱えるようにフレームワークを拡張し、スパース構造に対する頑健性を確保する。
• トレードオフ結果を導出：クラスタリング9では (7/10)m+1 色、クラスタリングO(m)では (2/3)m+1 色。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最大平均次数が有界なグラフにおいて、k-choosability with defect d に必要な色数の最もタイトな境界は何か？
• RQ2 クラスタリング2におけるクラスタリング付きチョイスラビリティに (1−ε)m 界を確立できるか。これはスパースグラフ彩色における未解決問題を解決する。
• RQ3 最大平均次数がmであるグラフにおいて、色数とクラスタリングサイズのトレードオフはどのように振る舞うか？
• RQ4 クラスタリング付きチョイスラビリティに関する結果を、最小頂点数を満たす部分グラフにどの程度まで拡張できるか？
• RQ5 これらの境界は、二平面グラフなどの有名なスパースグラフクラスにどのような意味を持つのか？

主な発見

• 最大平均次数が (2d+2)/(d+2)k より小さい任意のグラフは、欠損dでk-choosableである。これはHavetとSereniの先行研究を改善する。
• d=1の場合、この結果により、最大平均次数がmである任意のグラフは、クラスタリング2で (3/4)m+1-choosableであることが示され、未解決問題が解決される。
• 本論文は、最大平均次数がmである任意のグラフが、クラスタリング9で (7/10)m+1-choosableであることを証明している。
• また、最大平均次数がmである任意のグラフが、クラスタリングO(m)で (2/3)m+1-choosableであることも示しており、強力なトレードオフ結果を提供している。
• 結果は、少なくともt個の頂点を持つ部分グラフへも拡張可能であり、スパースおよび局所的にスパースなグラフへの適用性が向上する。
• その結果、すべてのバイプランラーグラフは、有界クラスタリング付きで8-choosableであることが示され、クラスタリング付き地球-月問題における最良の既知の結果である。