[論文レビュー] Definability and decidability in expansions by generalized Cantor sets

William Balderrama, Philipp Hieronymi|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2017

Advanced Algebra and Logic参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般化されたカントール集合を用いた順序付き実加法群の拡張における定義可能性と決定可能性を調査する。単一の一般化されたカントール集合による拡張は決定可能であり、r進数の桁情報を取り込む構造と相互定義可能であるが、乗法的に独立な2つの基数における一般化されたカントール集合による拡張は、すべてのコンパクト集合を定義してしまうため、決定不能になる。主な結果は、log_r(s) が有理数でないとき、構造 (R, <, +, C_{r,K}, C_{s,L}) が R のすべてのコンパクト集合を定義することであり、これは決定不能性と完全な射影的定義可能性を意味する。

ABSTRACT

We determine the sets definable in expansions of the ordered real additive group by generalized Cantor sets. Given a natural number $r\geq 3$, we say a set $C$ is a generalized Cantor set in base $r$ if there is a non-empty $K\subseteq\{1,\ldots,r-2\}$ such that $C$ is the set of those numbers in $[0,1]$ that admit a base $r$ expansion omitting the digits in $K$. While it is known that the theory of an expansion of the ordered real additive group by a single generalized Cantor set is decidable, we establish that the theory of an expansion by two generalized Cantor sets in multiplicatively independent bases is undecidable.

研究の動機と目的

• 一般化されたカントール集合を1つ追加した (R, <, +) の拡張における定義可能な集合を特定すること。
• 複数の一般化されたカントール集合による拡張が、モデル理論的に「なだらか」なままであるかどうかを調査すること。
• 特に複数のカントール集合を追加した場合の、決定可能性と非決定可能性の境界を明確にすること。
• このような拡張が R のすべてのコンパクト部分集合を定義する条件を確立すること。

提案手法

• r 進数の桁情報を符号化する三項述語 W_r を用いて、一般化されたカントール集合 C_{r,K} を定義する。
• (R, <, +, C_{r,K}) と S_r = (R, <, +, W_r|_{[0,1] × r^{-N} × {0,…,r-1}}) の間の相互定義可能性を確立する。
• Büchi や Boigelot らの自動機的およびモデル理論的道具を用いて、単一カントール集合拡張の決定可能性を示す。
• log_r(s) が有理数でないとき、Villemaire の定理の一般化を用いて、(R, <, +, W_r, W_s) がすべてのコンパクト集合を定義することを証明する。
• f(r^{-d}) = r^{-⌈log_s(r) d⌉} のような r^{-N} 上の定義可能な関数を用いて、稠密な集合をシミュレートし、コンパクト集合の定義可能性を可能にする。
• 素因数分解および r-進付値の技術を用いて、一般の場合を、定義可能性が既知の結果で確立された部分ケースに還元する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の一般化されたカントール集合 C_{r,K} を用いた (R, <, +, C_{r,K}) で定義可能な集合は何か？
• RQ2 (R, <, +, C_{r,K}) の理論は決定可能か？
• RQ3 乗法的に独立な基数における2つの一般化されたカントール集合による (R, <, +) の拡張では何が起こるか？
• RQ4 このような拡張は R のすべてのコンパクト部分集合を定義できるか？
• RQ5 複数のカントール集合を追加すると、どのような条件下で決定不能性が生じるか？

主な発見

• 構造 (R, <, +, C_{r,K}) は S_r と相互定義可能であり、定義可能な集合は S_r で定義可能な集合と完全に一致する。
• 任意の r ≥ 3 および空でない K ⊆ {1,…,r-2} に対して、(R, <, +, C_{r,K}) の理論は決定可能である。
• log_r(s) が有理数でないとき、構造 (R, <, +, C_{r,K}, C_{s,L}) は R のすべてのコンパクト部分集合を定義する。
• その結果、log_r(s) が有理数でないとき、(R, <, +, C_{r,K}, C_{s,L}) の理論は非決定的である。
• この拡張は [0,1]^k のすべての射影的部分集合を定義する。なぜなら、(R, +, ⋅, N) を解釈できるからである。
• 乗法が必ずしも定義可能でないにもかかわらず、コンパクト集合の定義可能性のおかげで、構造は完全な射影的複雑性を捉えている。