[論文レビュー] Definability results for invariant distributions on a reductive unramified p-adic group

Raf Cluckers, Julia Gordon+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 33被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、再帰的で非分岐な p進群上の軌道積分のフーリエ変換が、構成可能モチビック指数関数の特殊化であることを確立し、移行原理を用いてハリシュ＝チャンドラの可積分性定理を正の特性の局所体へ拡張可能であることを示している。模擬指数写像の仮定のもとでは、これにより、大きな正の特性における等特徴的体上の適切表現のハリシュ＝チャンドラキャラクターの局所的可積分性がさらに示唆される。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected reductive algebraic group over a non-Archimedean local field $K$, and let $g$ be its Lie algebra. By a theorem of Harish-Chandra, if $K$ has characteristic zero, the Fourier transforms of orbital integrals are represented on the set of regular elements in $g(K)$ by locally constant which, extended by zero to all of $g(K)$, are locally integrable. In this paper, we prove that these functions are in fact specializations of constructible motivic exponential functions. Combining this with the Principle for integrability [R. Cluckers, J. Gordon, I. Halupczok, Transfer principles for integrability and boundedness conditions for motivic exponential functions, preprint arXiv:1111.4405], we obtain that Harish-Chandra's theorem holds also when $K$ is a non-Archimedean local field of sufficiently large positive characteristic. Under the hypothesis on the existence of the mock exponential map, this also implies local integrability of Harish-Chandra characters of admissible representations of $G(K)$, where $K$ is an equicharacteristic field of sufficiently large (depending on the root datum of $G$) characteristic.

研究の動機と目的

• 再帰的で非分岐な p進群上の軌道積分のフーリエ変換が、構成可能なモチビック指数関数の特殊化であることを確立すること。
• ハリシュ＝チャンドラの局所的可積分性に関する軌道積分変換の定理を、正の特性の非アーチメデス的局所体へ拡張すること。
• 大きな正の特性における等特徴的体上での適切表現のハリシュ＝チャンドラキャラクターの局所的可積分性を調査すること。
• 既知の零特性における結果から、正の特性における可積分性結果を導くために、モチビック移行原理を適用すること。
• 模擬指数写像が、モチビック関数とハリシュ＝チャンドラキャラクターなどの表現論的対象との間の接続をどのように果たすかを探索すること。

提案手法

• 構成可能なモチビック指数関数の理論を用いて、軌道積分のフーリエ変換を表現する。
• モチビック積分における可積分性の原理を用い、零特性から正の特性への可積分性の性質を移行させる。
• arXiv:1111.4405で開発された、モチビック指数関数における可積分性および有界性条件の移行原理を適用する。
• モチビック関数と適切表現のハリシュ＝チャンドラキャラクターとの関係を確立するために、模擬指数写像の存在に依存する。
• 正則半単純元上の局所定数関数をゼロ拡張により全リー代数上に拡張し、局所可積分関数を得る。
• モチビック積分の結果を適用し、モチビック関数の特殊化が正の特性における実際の可積分関数を導くことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 再帰的で非分岐な p進群上の軌道積分のフーリエ変換は、構成可能なモチビック指数関数の特殊化として記述可能か？
• RQ2 可積分性の原理により、ハリシュ＝チャンドラの可積分性定理は、正の特性の非アーチメデス的局所体へ拡張可能か？
• RQ3 体の特性にどのような条件下で、適切表現のハリシュ＝チャンドラキャラクターは局所的に可積分のままであるか？
• RQ4 模擬指数写像の存在が、モチビック可積分性から表現論的対象への移行をどのように促進するか？
• RQ5 可積分性結果が成り立つために、群 G のルートデータに依存する必要がある特性の正確な依存関係は何か？

主な発見

• 再帰的で非分岐な p進群のリー代数上での軌道積分のフーリエ変換は、構成可能なモチビック指数関数の特殊化である。
• ハリシュ＝チャンドラの定理（軌道積分変換の局所的可積分性）は、十分に大きな正の特性を持つ非アーチメデス的局所体において成り立つ。
• 模擬指数写像の存在を仮定すれば、K が十分に大きな特性を持つ等特徴的体であるとき、G(K) の適切表現のキャラクターは局所的に可積分である。
• 必要な特性は G のルートデータに依存し、より大きなルート系ではより高い特性の閾値が必要となる。
• 有界性および可積分性条件に対するモチビック移行原理の適用により、零特性から正の特性への可積分性の移行が可能である。
• 正則半単純元上の局所定数関数のゼロ拡張が全リー代数上に局所可積分関数を保つことは、議論の重要なステップである。