[論文レビュー] Definable discrete sets with large continuum

David Schrittesser|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ゲーデルの構成可能宇宙 L の反復サックス強調拡大において、連続体が大きい場合（例えば 2^ℵ₀ = ℵ₂）であっても、任意の Σ¹₁ 二項関係は Δ¹₂ 最大離散集合をもつことを確立する。この結果を応用して、Borel 確率測度の Π¹₁ 最大直交族を構成し、連続体が大きい強調拡大において定義可能最大離散集合の存在を示す。この目的を達成するために、反復サックス強調のための新しいラマヌジャン的原理が用いられる。

ABSTRACT

Let $\mathcal R$ be a $Σ^1_1$ binary relation and call a set $\mathcal R$-discrete iff no two distinct of its elements are $\mathcal R$-related. We show that in the extension of $\mathbf{L}$ by iterated Sacks forcing, there is a $Δ^1_2$ maximal $\mathcal R$-discrete set, and thus the existence of such sets is compatible with the negation of the continuum hypothesis. As an application we find a $Π^1_1$ maximal orthogonal family of Borel probability measures in said extension. The basis of this is a new Ramsey theoretic result.

研究の動機と目的

• 連続体が大きい強調拡大における Σ¹₁ 二項関係に対する定義可能最大離散集合の存在を調査すること。
• サックス強調における均一集合に関するガルビンの定理を反復サックス強調に拡張すること。
• L の反復サックス強調拡大において、Borel 確率測度の Π¹₁ 最大直交族を構成すること。
• このような定義可能最大離散集合の存在が、連続体仮説の否定と両立可能であることを示すこと。
• 射影的定義可能性と普遍性がラマヌジャン的原理において果たす役割を分析することで、強調拡大における定義可能性の限界を探ること。

提案手法

• L 上の長さ ω₂ の反復サックス強調を用いて、効果的に提示されたポーランド空間上の任意の Σ¹₁ 関係 R に対して Δ¹₂ 最大 R-離散集合を構成する。
• 鍵となる技術的道具は、新しいラマヌジャン的結果である：反復サックス条件の分岐空間上の C-普遍的ブルーの彩色に対して、その分岐集合が分割された定義域上で均一彩色を支持するより強い条件が存在する。
• 証明は反復における位相的に決定された条件に依存し、極限 λ に対して [p̄] ⊆ λ(ω2) として分岐空間を定義し、二つの分岐が初めて異なる座標で色分けを分析する。
• 強調による議論により、一般化された条件 q̄ が、Δ¹₂ 定義可能性を保つ融合プロセスを通じて最大離散集合の存在を強制することが示される。
• 各段階でガルビンの証拠を用いて木の初期部分集合での均一性を保証し、最終的な集合が R-離散かつ最大であることを保証する。
• 測度の直交族への応用は、P*(X)（完璧なポーランド空間 X 上の非原子的 Borel 確率測度の空間）が効果的ポーランド空間であり、Borel 直交関係を持つことから生じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続体が大きい強調拡大において、Baire可測彩色に関するガルビンの定理（均一集合）は、サックス強調から反復サックス強調に拡張可能か？
• RQ2 連続体が大きい強調拡大における Σ¹₁ 関係に対しても、射影的最適離散集合が依然として存在可能か？
• RQ3 L の反復サックス強調拡大において、Borel 確率測度の Π¹₁ 最大直交族は存在するか？
• RQ4 任意のポーランド空間上の射影的二項関係が射影的横断集合をもつという命題の整合性の強さは何か？
• RQ5 測度の最大直交族は強調拡大を通じて保存可能か、それとも外的モデルでは常に破壊されるか？

主な発見

• 長さ ω₂ の L の反復サックス強調拡大において、任意の Σ¹₁ 二項関係は、連続体が ℵ₁ よりも大きい場合でさえも Δ¹₂ 最大 R-離散集合をもつ。
• このような定義可能最大離散集合の存在は、連続体仮説の否定と両立可能である。
• 同じ強調拡大において、主定理と先行研究の結果から、Borel 確率測度の Π¹₁ 最大直交族が存在する。
• 本論文は、反復サックス強調のための新しいラマヌジャン的原理を確立した：任意の C-普遍的ブルーの彩色が条件の分岐空間上に存在するとき、その分岐集合が分割された定義域上で均一彩色を支持するより強い条件が存在する。
• 構成により、得られる最大離散集合は、強調拡大においてパラメータなしで Δ¹₂-定義可能であることが示された。
• 結果は、最初に異なる座標（cξ）に基づく彩色の障害を克服できないため、最適であり、Δξ への分割が不可欠である。