[論文レビュー] Definable equivalence relations and zeta functions of groups

Ehud Hrushovski, Benjamin Martin+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 7被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、GLn(Qp)/GLn(Zp) のための種を追加することにより、p進数 Qp における像の均一な消去を確立し、すべての素数 p における定義可能同値類を数える zeta 関数の均一な有理型を可能にする。p進およびモチーフ的積分を用いて、有限生成の冪単群の表現 zeta 関数が均一に有理的であることを証明し、従来の部分群 zeta 関数に関する結果を拡張し、グローバル zeta 関数の収束の絶対値を均一に得る。

ABSTRACT

We prove that the theory of the $p$-adics ${\mathbb Q}_p$ admits elimination of imaginaries provided we add a sort for ${ m GL}_n({\mathbb Q}_p)/{ m GL}_n({\mathbb Z}_p)$ for each $n$. We also prove that the elimination of imaginaries is uniform in $p$. Using $p$-adic and motivic integration, we deduce the uniform rationality of certain formal zeta functions arising from definable equivalence relations. This also yields analogous results for definable equivalence relations over local fields of positive characteristic. The appendix contains an alternative proof, using cell decomposition, of the rationality (for fixed $p$) of these formal zeta functions that extends to the subanalytic context. As an application, we prove rationality and uniformity results for zeta functions obtained by counting twist isomorphism classes of irreducible representations of finitely generated nilpotent groups; these are analogous to similar results of Grunewald, Segal and Smith and of du Sautoy and Grunewald for subgroup zeta functions of finitely generated nilpotent groups.

研究の動機と目的

• GLn(Qp)/GLn(Zp) のための幾何的種を追加することにより、Qp の理論における像の消去を確立すること。
• 超積と不変型を用いて、この像の消去がすべての素数 p にわたって均一であることを証明すること。
• この結果を応用して、Qp や正標数の局所体における定義可能同値類を数える形式的 zeta 関数の均一な有理型を証明すること。
• 既知の部分群 zeta 関数に関する有理型と均一性の結果を、有限生成の冪単群の表現 zeta 関数へと拡張すること。

提案手法

• 代数的に閉じた付値体（ACVF）のモデル理論における型の不変拡張を用いて、像の消去を証明すること。
• 定義可能同値関係およびその数え上げ関数を制御するため、p進およびモチーフ的積分技法を適応すること。
• 細胞分解とパラメータ化積分を用いて、p進体上の zeta 関数の有理型を証明すること。
• 同値類の測度論的構造を符号化する定義可能な関数族 fI,y および αy の構成。
• [23] および [14] からの均一な可積分性と有理型に関する結果を用いて、zeta 関数が係数が p に依存しない有理関数として有理的であることを示すこと。
• 超積形式的論法を活用して、p および Qp の有限拡大 Lp に関して二重の均一性を達成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Qp の理論において、すべての素数 p にわたって像の消去が均一に達成可能か？
• RQ2 定義可能同値類を数える zeta 関数が、すべての素数 p にわたって均一に有理的か？
• RQ3 zeta 関数の均一な有理型は、正標数の局所体へと拡張可能か？
• RQ4 均一な有理型に関する結果を、有限生成の冪単群の表現 zeta 関数に応用可能か？
• RQ5 すべての p における積をとることで得られるグローバル zeta 関数の収束の絶対値は何か？

主な発見

• Qp の理論は、GLn(Qp)/GLn(Zp) のための種を追加することで、p に依存しない均一な像の消去を有する。
• 一様に定義可能な族における同値類を数える zeta 関数 (Sp(t))p は、係数が p に依存しない有理関数として均一に有理的である。
• 各素数 p に対して、zeta 関数 Sp(t) は有理的であり、これは「大きな素数」に限らず、すべての素数にわたって均一に成り立つ。
• 局所 zeta 関数の積として得られるグローバル zeta 関数 ζ(s) = ∏p ζp(s) は、収束の絶対値が有理的である。
• 有限生成の冪単群の表現 zeta 関数は、部分群 zeta 関数について既に知られていた結果を拡張して、均一に有理的である。
• サブアナリティックな文脈における細胞分解を用いた別証明により、有理型が確認され、より一般の文脈へと結果を拡張できる。