[論文レビュー] Defining and Computing Topological Persistence for 1-cocycles

Dan Burghelea, Tamal K. Dey+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2010

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、単体複体の無限サイクリック被覆へのアップライトを介してレベルパーシステンスを活用することにより、閉1形式の離散版である1コサイクルのためのトポロジカルパーシステンスの定義と計算を可能にする新規フレームワークを提示する。主な貢献は、標準的な持続的ホモロジー技法を被覆上の実数値写像に適応させることで、ほぼ整数値の1コサイクルのパーシステンス不変量を計算するアルゴリズムの開発であり、離散的ベクトル場や順位付けられたデータなどの円周値データのトポロジカル解析を可能にする。

ABSTRACT

The concept of topological persistence, introduced recently in computational topology, finds applications in studying a map in relation to the topology of its domain. Since its introduction, it has been extended and generalized in various directions. However, no attempt has been made so far to extend the concept of topological persistence to a generalization of `maps' such as cocycles which are discrete analogs of closed differential forms, a well known concept in differential geometry. We define a notion of topological persistence for 1-cocycles in this paper and show how to compute its relevant numbers. It turns out that, instead of the standard persistence, one of its variants which we call level persistence can be leveraged for this purpose. It is worth mentioning that 1-cocyles appear in practice such as in data ranking or in discrete vector fields.

研究の動機と目的

• 0コチェーン（実数値関数）に限らないトポロジカルパーシステンスの拡張を、データランク付けやベクトル場の応用で現れる閉1形式の離散版をモデル化する1コサイクルへ行うこと。
• 標準的な持続的ホモロジーが部分レベル集合の欠如により円周値写像に適用できないという課題に対処すること。
• 被覆空間上の実数値関数に適応されたパーシステンスのバリエーションとしてのレベルパーシステンスを用いて、1コサイクルの意味のあるパーシステンスの定義を提示すること。
• 無限サイクリック被覆へのフィルタリングされたアップライトを構築することにより、ほぼ整数値の1コサイクルのパーシステンス不変量を計算するアルゴリズムを提供すること。
• フィルタリングされた元の単体複体からのインシデント構造が、直接的にレベルパーシステンスの計算に利用可能であり、効率的な計算を可能にする。

提案手法

• 基点の選択と経路に基づく角度割り当て（mod $ \alpha $）を用いて、ほぼ整数値の1コサイクル $ f: X \to \mathbb{S}^1 $ を無限サイクリック被覆 $ \tilde{X} $ 上の実数値写像 $ \tilde{f} $ にアップライトする。
• 元の複体の順序とインシデント構造を保つように、$ \mathcal{L}^\theta(n) $, $ \partial_+\mathcal{L}^\theta(n) $, $ \mathcal{T}^\theta(n) $, および $ \partial_-\mathcal{L}^\theta(n+1) $ のコピーを繰り返し追加することで、フィルタリングされた単体複体 $ \tilde{X}^\theta(n) $ を構築する。
• 再帰的にインシデント行列 $ I_n(\sigma, \tau) $ を定義し、元の複体の境界構造と整合性を保ちつつ、アップライトされた複体がフィルタリングされたままであることを保証する。
• アップライトされた複体 $ \tilde{X}^\theta(n) $ に対して、$ \tilde{f} $ をフィルトレーション関数として標準的な持続的ホモロジーアルゴリズムを適用し、レベルパーシステンス不変量を計算する。
• 標準的なアルゴリズムによる効率的計算を可能にするために、行列 $ M(\tilde{X}^\theta(n)) $ の列と行を再順序付け、$ \tilde{f} $ とのフィルタリング整合性を確保する。
• 計算に使用される $ \mathcal{L} $ および $ \mathcal{T} $ のコピー総数は、元の単体複体 $ \mathcal{X} $ の濃度によって上限が定まる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 データランク付けやベクトル場の応用で現れる、閉1形式の離散版である1コサイクルに対して、意味的に適切なトポロジカルパーシステンスをどのように定義できるか？
• RQ2 なぜ標準的な持続的ホモロジーは円周値写像に不適切であり、代替としてどのようなパーシステンスフレームワークが利用可能か？
• RQ3 元々実数値関数に対して定義されたレベルパーシステンスを、無限サイクリック被覆へのアップライトを介して1コサイクルの不変量を計算するために適応可能か？
• RQ4 アップライトされたフィルタリング複体を用いた1コサイクルのパーシステンス不変量の計算の計算量的複雑性と実行可能性は？
• RQ5 アップライトされた複体のインシデント構造は元の単体複体とどのように関係しており、アルゴリズム的利用のための効率的再構築が可能か？

主な発見

• 本稿は、ほぼ整数値の1コサイクルが一意に定まる $ \mathbb{S}^1 $-値写像を誘導することを確立し、それが無限サイクリック被覆上での実数値写像へのアップライトを可能にし、パーシステンスを用いたトポロジカル解析を可能にする。
• レベルパーシステンスは、標準的なパーシステンスに内在する部分レベル集合の問題を回避するため、円周値写像の解析に適したパーシステンスのバリエーションであることが示された。
• 無限サイクリック被覆 $ \tilde{X} $ 上のアップライト写像 $ \tilde{f} $ は、きめ細かく（tame）かつ元の単体複体構造と整合するフィルタリングを備えており、標準的な持続的ホモロジーアルゴリズムの適用が可能である。
• アップライト複体 $ \tilde{X}^\theta(n) $ のインシデント構造は、元の複体 $ X $ から効率的に導出可能であり、標準的なパーシステンスアルゴリズムへの直接的な適応が可能である。
• 計算に使用される $ \mathcal{L} $ および $ \mathcal{T} $ のコピー総数は、元の単体複体 $ \mathcal{X} $ の濃度未満であることが保証され、計算の効率性が確保される。
• 本手法により、アップライトされたフィルタリング複体上の標準的持続的ホモロジーへの還元によって、ほぼ整数値の1コサイクルのパーシステンス不変量を完全に計算するアルゴリズムが提供される。