[論文レビュー] Defining Homomorphisms and Other Generalized Morphisms of Fuzzy Relations in Monoidal Fuzzy Logics by Means of BK-Products

Ladislav Kohout|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2003

Advanced Algebra and Logic参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、モノイダルなファジィ論理におけるファジィ関係のホモモーフィズムおよびその一般化を、関係のBK積と剰余化を導入・活用することで一般化する。擬代数的BK積を用いた関係的不等式を用いて前向きおよび後向き適合性を定義し、BL、Łukasiewicz、Gödel、積論理を包含する統一的枠組みを確立する。畳み込みの代数的構造に基づく厳密な証明がなされている。

ABSTRACT

The present paper extends generalized morphisms of relations into the realm of Monoidal Fuzzy Logics by first proving and then using relational inequalities over pseudo-associative BK-products (compositions) of relations in these logics. In 1977 Bandler and Kohout introduced generalized homomorphism, proteromorphism, amphimorphism, forward and backward compatibility of relations, and non-associative and pseudo-associative products (compositions) of relations into crisp (non-fuzzy Boolean) theory of relations. This was generalized later by Kohout to relations based on fuzzy Basic Logic systems (BL) of Hájek and also for relational systems based on left-continuous t-norms. The present paper is based on monoidal logics, hence it subsumes as special cases the theories of generalized morphisms (etc.) based on the following systems of logics: BL systems (which include the well known Goedel, product logic systems; Lukasiewicz logic and its extension to MV-algebras related to quantum logics), intuitionistic logics and linear logics.

研究の動機と目的

• 基本論理（BL）や左連続なt-ノルムを超えて、より広範なモノイダルなファジィ論理のクラスにまで一般化されたファジィ関係の一般化された準同型の理論を拡張すること。
• 非結合的合成を用いて、ファジィ関係的システムにおける一般化された準同型（例えば、プロテロモーフィズム、適合性）を定義する形式的枠組みを確立すること。
• 畳み込みの代数的構造に基づく、畳み込みの不等式を体系的に扱うための代数的処理を、畳み込みの代数的構造に基づいて行うこと。
• モノイダルなファジィ論理を用いて、Łukasiewicz、Gödel、積論理といった多様なファジィ論理体系を1つの理論的枠組みで統一すること。
• 不等式基準を用いて前向きおよび後向き適合性を厳密に特徴づけることで、異種システムへの実用的応用を可能にすること。

提案手法

• 関係の非結合的合成であるBK積を導入し、以前のクリップスおよびファジィ関係合成の研究を一般化する。
• 畳み込みの代数的構造における剰余化を用いて、関係的不等式により一般化された準同型を定義し、方程式的制約の代わりに順序に基づく条件を導入する。
• 畳み込みの代数的構造における剰余化操作を用いて、前向きおよび後向き適合性の必要十分条件を導出する：それぞれ $ F rianglelefteq R hd (G hd S^{-1}) $ および $ G rianglelefteq R^{-1} hd (F hd S) $。
• 畳み込みの代数的構造におけるラティス的性質を一階論理式に翻訳し、モノイダルなファジィ論理における関係的性質の形式的検証を可能にする。
• 剰余化のブートストラップ原理を用いて、BK積がファジィ関係的システム全体にわたり剰余化の性質を保存することを証明する。
• 関係的不等式と一般化された準同型の基準との間の同値性を、剰余化操作の推移性および双対性を用いて確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 モノイダルなファジィ論理において、プロテロモーフィズムや適合性関係といった一般化された準同型をどのように形式的に定義できるか？
• RQ2 非結合的BK積の下で、ファジィ関係の前向きおよび後向き適合性を特徴付ける関係的不等式は何か？
• RQ3 畳み込みの代数的構造におけるBK積と剰余化は、BL、Łukasiewicz、積論理といった多様なファジィ論理をどのように統一的に扱えるか？
• RQ4 剰余化は、クリップスな関係的適合性をファジィ設定に一般化するために果たす役割は何か？
• RQ5 モノイダルなファジィ論理の代数的構造をどのように活用して、準同型の妥当性に関する一貫性があり一般化可能な基準を導出できるか？

主な発見

• 論文は、関係 $ F, G $ が $ R $ および $ S $ に関して前向き適合性を満たすのは、$ F rianglelefteq R hd (G hd S^{-1}) $ が成り立つとき、かつそのときに限り成り立つことを証明しており、ファジィ適合性の形式的基準を提供する。
• 後向き適合性は $ F rianglelefteq (R hd G) hd S^{-1} $ で特徴づけられ、前向きおよび後向き適合性条件の双対性が示されている。
• 剰余化のブートストラップ原理が確立され、BK積がモノイダルなファジィ代数において剰余化の性質を保存することを保証し、一貫した関係的推論を可能にする。
• BK積に基づく関係的不等式は、クリップスな関係的適合性をファジィ設定に一般化し、BLおよび左連続t-ノルム論理における以前の結果を包含する。
• この枠組みは、Łukasiewicz（MV代数）、Gödel、積論理といった複数のファジィ論理体系を、1つの畳み込みの代数的構造に基づく理論で統一する。
• 畳み込みの代数的構造に基づく一階論理式がラティスの意味論から導出され、ファジィシステムにおける関係的性質の形式的検証を可能にする。