[論文レビュー] Defining Quantum Control Flow

Mingsheng Ying, Nengkun Yu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2012

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、量子プログラミング言語における量子制御フローを形式化するために、量子ガardedコマンド、量子選択、量子再帰の3つの新しい量子プログラム構成を導入する。量子制御フローは、古典的制御とは異なり、測定を伴わずにユニタリ変換を可能にし、根本的な複雑性の差を示す：量子制御を用いたループは、測定による崩壊を伴わずに局所化できない。これは古典的制御フローとは対照的である。

ABSTRACT

A remarkable difference between quantum and classical programs is that the control flow of the former can be either classical or quantum. One of the key issues in the theory of quantum programming languages is defining and understanding quantum control flow. A functional language with quantum control flow was defined by Altenkirch and Grattage [ extit{Proc. LICS'05}, pp. 249-258]. This paper extends their work, and we introduce a general quantum control structure by defining three new quantum program constructs, namely quantum guarded command, quantum choice and quantum recursion. We clarify the relation between quantum choices and probabilistic choices. An interesting difference between quantum recursions with classical control flows and with quantum control flows is revealed.

研究の動機と目的

• 量子プログラムにおける古典的制御フローを越えた、独立した量子制御フローのパラダイムとしての形式化を目的とする。
• 『量子データ、古典的制御』に依存する既存の量子プログラミング言語の限界を解決し、真の量子制御をサポートする構成を導入することを目的とする。
• 量子選択と確率的選択の明確な違いを明らかにし、量子制御が測定を伴わずにユニタリな進化をもたらすことを示すこと。
• 量子再帰および量子制御を用いたループを定義する際の課題、特に補助キュービットの非局所化性に焦点を当てること。
• 量子制御フローの完全な理論の基盤を築くこと。これには、量子 Floyd-Hoare 論理やプログラム検証への潜在的な拡張が含まれる。

提案手法

• 一般化された量子ガardedコマンド構成を提案：$\square_{i=1}^{n}\ \overline{q},|i\rangle\rightarrow P_{i}$。制御は補助レジスタ $\overline{q}$ の量子状態によって決定され、測定を伴わずにユニタリな分岐を可能にする。
• 量子選択を、ユニタリコイン演算子 $C$ を用いたプログラム分岐の重ね合わせとして定義：$\mathbf{skip}_{C[q]}\oplus P$。これにより、代替プログラム経路の干渉を保つ選択が可能になる。
• 量子変数を用いた再帰プログラム構成 $\mu X.P$ を用いて量子再帰を定義。再帰本体はプログラム名 $X$ と共有変数集合を引数にとる。
• 量子ループを、補助キュービット $q_1, ..., q_n$ を用いた反復的構成 $Q_n'$ としてモデル化。意味論は増大するヒルベルト空間 $\mathcal{H}_{\overline{q}} \otimes \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{H}_{q_i}$ 上で定義される。
• 半古典的意味論 $\lceil Q_n' \rceil$ を用いて量子反復の意味論を分析。$\lceil Q_n' \rceil(\epsilon)|\psi\rangle|0\rangle^n = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{2^{i+1}}}U^i|\psi\rangle|0\rangle^{n-i}|1\rangle^i$ が成り立つ。
• 量子ループにおける補助キュービット $q_1, ..., q_n$ の局所化が、退化した確率的意味論 $\llbracket Q_n'' \rrbracket(\rho) = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2^{i+1}}U^i\rho(U^\dagger)^i$ に帰着することを示し、量子コherーランスを失うことを示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子スーパポジションに基づくユニタリ制御フローを可能にするために、量子ガardedコマンドをどのように形式的に定義できるか？測定結果ではなく、量子状態に基づく制御を実現するには？
• RQ2 量子選択と確率的選択の正式な違いは何か？量子選択がプログラム実行中にユニタリ性を保つ仕組みは？
• RQ3 量子制御を用いた量子再帰が、古典的制御再帰とはなぜ根本的に異なる挙動を示すのか？特に状態空間の進化の観点から。
• RQ4 量子制御を用いたループを有限反復の極限として定義することは可能か？その定義に課される障壁は何か？
• RQ5 補助キュービットの非局所化が、量子プログラムの意味論および検証に与える影響は何か？

主な発見

• 量子ガardedコマンドは、補助レジスタ $\overline{q}$ の量子制御を用いることで、古典的ガardedコマンドを一般化し、測定を伴わずにユニタリ分岐を可能にする。量子ウォークや QML の $\mathbf{if}^\circ$ で見られる。
• ユニタリコイン演算子 $C$ を用いて定義される量子選択は、プログラム分岐の重ね合わせを可能にし、代替経路間でユニタリな進化を生じさせる。これは確率的選択とは対照的である。
• 量子制御を用いたループ $Q_n'$ は、増大するヒルベルト空間 $\mathcal{H}_{\overline{q}} \otimes \bigotimes_{i=1}^n \mathcal{H}_{q_i}$ 上で定義され、意味論として $\lceil Q_n' \rceil(\epsilon)|\psi\rangle|0\rangle^n = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{2^{i+1}}}U^i|\psi\rangle|0\rangle^{n-i}|1\rangle^i$ を満たす。
• ループ $Q_n'$ の補助キュービット $q_1, ..., q_n$ を局所化すると、確率的意味論 $\llbracket Q_n'' \rrbracket(\rho) = \sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2^{i+1}}U^i\rho(U^\dagger)^i$ に帰着し、量子コヒーレンスを失うため、量子制御は局所化できないことが示された。
• 量子制御を用いた再帰は、古典的制御再帰よりも根本的に複雑である。状態空間は各反復で拡大し、局所化によって崩壊させると量子的挙動を失うためである。
• 本稿は、量子制御を用いたループが、有限反復の極限として定義できないことを確立した。反復ごとのヒルベルト空間次元が異なるためであり、これは量子プログラム意味論における主要な課題を示している。