[論文レビュー] Defining relations of 3-dimensional quadratic AS-regular algebras

Ayako Itaba, Masaki Matsuno|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2018

Advanced Topics in Algebra参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、点系列に基づいて場合分けを行うことにより、3次元の二次的Artin-Schelter（AS）正則代数の定義関係の完全分類を提供する。同種の代数は、代数的・幾何的データを用いて、同型および次数付きMorita同値関係に関して分類され、特に点系列が楕円曲線でない場合に適用される。点系列が楕円曲線である場合には、ねじれ点や自己同型などの幾何的不変量を用いて、同型およびMorita同値の明示的条件が与えられる。

ABSTRACT

Classification of AS-regular algebras is one of the main interests in non-commutative algebraic geometry. Recently, a complete list of superpotentials (defining relations) of all $3$-dimensional AS-regular algebras which are Calabi-Yau was given by Mori-Smith (the quadratic case) and Mori-Ueyama (the cubic case), however, no complete list of defining relations of all $3$-dimensional AS-regular algebras has not appeared in the literature. In this paper, we give all possible defining relations of $3$-dimensional quadratic AS-regular algebras. Moreover, we classify them up to isomorphism and up to graded Morita equivalence in terms of their defining relations in the case that their point schemes are not elliptic curves. In the case that their point schemes are elliptic curves, we give conditions for isomorphism and graded Morita equivalence in terms of geometric data.

研究の動機と目的

• すべての3次元二次的AS正則代数の定義関係の完全リストを提供すること。
• 定義関係を用いて、これらの代数を同型に関して分類すること。
• 点系列が楕円曲線でない場合に特に、次数付きMorita同値関係に関してこれらの代数を分類すること。
• 点系列が楕円曲線である場合に、自己同型やねじれ点などの幾何的データを用いて分類を拡張すること。
• 既存の文献におけるギャップを埋めるために、一般またはCalabi-Yauの場合を越えて完全で体系的な分類を提供すること。

提案手法

• 3次元二次的AS正則代数と、正則な幾何的対 (E, σ) の間の対応関係を利用する。ここで E はスキームで、σ は自己同型である。
• ねじれ代数と次数付き自己同型を用いて、同型およびMorita同値クラスを分析する。
• 点系列を用いて代数を分類する：非楕円的ケース（ノード付き三次曲線、有理曲線）は、定義関係の構造を用いて代数的に取り扱う。
• 楕円的点系列の場合は、自己同型 σ_pτ^j の作用や E[3] 内のねじれ点を用いて、同型およびMorita同値を特徴付ける。
• 幾何的代数の理論と、楕円曲線を保存する射影平面の自己同型群の構造を応用する。
• Aut_k(ℙ², E) 内の自己同型 {ϕ_n} の再帰的構成を用いて、異なる幾何的データを持つ代数間の次数付きMorita同値関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての3次元二次的AS正則代数の定義関係の完全リストは何か？
• RQ2 2つの代数が定義関係の観点からいつ同型であるか？
• RQ3 点系列が楕円曲線でない場合に、2つの代数がいつ次数付きMorita同値であるか？
• RQ4 点系列が楕円曲線である場合に、同型および次数付きMorita同値を決定する幾何的条件は何か？
• RQ5 [NVZ] で既に分類された族を超えて、非同型の新しい代数を同定できるか？

主な発見

• 点系列が楕円曲線でない3次元二次的AS正則代数の定義関係の完全リストが提示された。
• 非楕円的点系列の場合は、定義関係の構造を用いて、同型および次数付きMorita同値関係に関して代数が分類された。
• 点系列がノード付き三次曲線である場合、[NVZ] の分類に属さない新しい代数が同定された。
• 点系列が楕円曲線である場合、同型は点 p が σ_pτ^j の作用下での軌道と、p - τ^{j-i}(p) ∈ E[3] である条件によって決定される。
• 点系列が楕円曲線である代数間の次数付きMorita同値関係が成り立つのは、対応する幾何的データ（点と自己同型）が E[3] および τ を含む特定のねじれおよび変換条件を満たす場合に限る。
• 本稿では、楕円曲線の場合に次数付きMorita同値関係が稀であることが示された。例 4.21 で示されるように、同値関係は有限個（|E_λ[6]| = 36）に限られ、大多数の代数は互いにMorita同値でないことが示された。